Encontre a área da região limitada por y=3 x^{2} e y=12 x-3 x^{2}.
Dica 1: esboce cuidadosamente a região.
Dica 2: Se pertinente, revise/leia a Seção 6.1 do Stewart (Área entre curvas) ou as suas notas de Cálculo 1, ou a Seção 5.1 (Áreas e distâncias) do Stewart.
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2*In(10) +3^{*} p i^{*}(9-\exp (2))-3^{*} sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
Entre aqui o valor da área \square

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas \,y=3x^{2} e \,y=12x-3x^{2}. Esse é um problema de área entre curvas: precisamos encontrar os pontos de interseção, determinar qual função está acima e depois calcular a integral definida da diferença entre elas.

Passo 2

Para achar as abscissas de interseção, igualamos as duas funções:
3x^{2} \;=\; 12x \;-\; 3x^{2}.
Reagrupando,
6x^{2} - 12x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x(x - 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 2.

Passo 3

Para ver qual curva está acima em [0,2], basta testar um valor, por exemplo x=1:
y_{1}=3\cdot1^{2}=3, \quad y_{2}=12\cdot1-3\cdot1^{2}=9,
logo 12x-3x^{2} está acima de 3x^{2} nesse intervalo.

Passo 4

A área procurada é
A = \int_{0}^{2}\bigl[(12x - 3x^{2}) - (3x^{2})\bigr]\;\,dx = \int_{0}^{2}(12x - 6x^{2})\;\,dx.

Passo 5

O antiderivado de 12x - 6x^{2} é 6x^{2}-2x^{3}. Avaliando de 0 a 2,
A = \Bigl[6x^{2} - 2x^{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(6\cdot4 - 2\cdot8\bigr) - 0 = 24 - 16 = 8.

Resposta

8.0000

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