Parte 1) [50% dos pontos] Demonstre a fórmula clássica de redução a seguir, determinando a constante
na fórmula, para
inteiro,
Obs.: aqui
e a fórmula é alternativamente escrita como
Dica: note que, com
. Use integração por partes com cuidado e as identidades trigonométricas pertinentes, provando a fórmula precisamente e, determinando o valor de
abaixo.
O valor de
na fórmula de redução é
O valor de
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar, para inteiro
, que vale a fórmula de redução
e determinar o valor de
. Vamos usar integração por partes e a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Escrevemos
e aplicamos integração por partes com
Então
Logo
Passo 3
Simplificando o segundo termo, obtemos
Agora substituímos
:
Reagrupando as integrais de
no lado esquerdo,
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
, chega-se à forma
Comparando com
vemos que o expoente interno é
, ou seja