Parte 1) [50% dos pontos] Demonstre a fórmula clássica de redução a seguir, determinando a constante \boldsymbol{p} na fórmula, para n \geq 2 inteiro,
\int \operatorname{sen}^{n} x d x=-\frac{1}{n}(\cos x) \operatorname{sen}^{n-1} x+\frac{n-1}{n} \int \operatorname{sen}^{n-p-2} x d x
Obs.: aqui \operatorname{sen}^{n-p-2} x=(\operatorname{sen} x)^{n-p-2} e a fórmula é alternativamente escrita como
\int(\operatorname{sen} x)^{n} d x=-\frac{1}{n}(\cos x)(\operatorname{sen} x)^{n-1}+\frac{n-1}{n} \int(\operatorname{sen} x)^{n-p-2} d x
Dica: note que, com n \geq 2, \operatorname{sen}^{n} x=(\operatorname{sen} x)\left(\operatorname{sen}^{n-1} x\right). Use integração por partes com cuidado e as identidades trigonométricas pertinentes, provando a fórmula precisamente e, determinando o valor de p abaixo.
O valor de \boldsymbol{p} na fórmula de redução é \boldsymbol{p}= \square

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, para inteiro n\ge2, que vale a fórmula de redução
\int \sin^n x\,dx = -\frac1n(\cos x)\,\sin^{n-1} x +\frac{n-1}n\int \sin^{\,n-p-2}x\,dx
e determinar o valor de p. Vamos usar integração por partes e a identidade trigonométrica \cos^2 x=1-\sin^2 x.

Passo 2

Escrevemos
\sin^n x = \sin x\;\sin^{n-1}x
e aplicamos integração por partes com
u = \sin^{n-1}x, \quad dv = \sin x\,dx.
Então
du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx, \quad v = -\cos x.
Logo
\int \sin^n x\,dx =\int u\,dv = u\,v-\int v\,du = -\cos x\,\sin^{n-1}x - \int\bigl(-\cos x\bigr)\,(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx.

Passo 3

Simplificando o segundo termo, obtemos
\int \sin^n x\,dx = -\cos x\,\sin^{n-1}x +(n-1)\int \sin^{n-2}x\,\cos^2 x\,dx.
Agora substituímos \cos^2 x=1-\sin^2 x:
\int \sin^n x\,dx = -\cos x\,\sin^{n-1}x +(n-1)\int \sin^{n-2}x\,dx - (n-1)\int \sin^n x\,dx.
Reagrupando as integrais de \sin^n x no lado esquerdo,
n\int \sin^n x\,dx = -\cos x\,\sin^{n-1}x +(n-1)\int \sin^{n-2}x\,dx.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por n, chega-se à forma
\int \sin^n x\,dx = -\frac1n\cos x\,\sin^{n-1}x +\frac{n-1}n\int \sin^{n-2}x\,dx.
Comparando com
\int \sin^n x\,dx = -\frac1n\cos x\,\sin^{n-1}x +\frac{n-1}n\int \sin^{\,n-p-2}x\,dx,
vemos que o expoente interno é n-2, ou seja
n-p-2 = n-2.

Resposta

p=0

Exercícios relacionados