Quais dos conjuntos
com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre
? Caso V não seja um espaço vetorial sobre
, dê um contra-exemplo das propriedades que não são satisfeitas!
, com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por:
e
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações
e pede para verificar se
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos checar todos os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de elemento neutro aditivo e a compatibilidade do escalar zero com esse neutro.
Passo 2
Buscamos um vetor
que seja neutro para
, ou seja,
Mas
logo para obter
precisamos de
Passo 3
Um dos axiomas de espaço vetorial exige que
onde
e
. Porém, calculamos
Portanto, a condição
não é satisfeita.
Resposta
que não coincide com o elemento neutro aditivo
.