Quais dos conjuntos \mathbf{V} com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} ? Caso V não seja um espaço vetorial sobre \mathbb{R}, dê um contra-exemplo das propriedades que não são satisfeitas!
\mathbf{V}=\mathbb{R}^{2}=\{(x, y): x, y \in \mathbb{R}\}, com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: \forall u=(x, y), v=(a, b) \in \mathbb{R}^{2} e \alpha \in \mathbb{R}
\left\{\begin{array}{c} u+v=(x, y)+(a, b)=(x+a+1, y+b+1) \\\ \alpha \cdot u=\alpha \cdot(x, y)=(\alpha \cdot x, \alpha \cdot y) \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbf V=\mathbb R^2 com as operações
(x,y)\oplus(a,b)=(x+a+1,\;y+b+1),
\alpha\odot(x,y)=(\alpha x,\;\alpha y),
e pede para verificar se (\mathbf V,\oplus,\odot) é um espaço vetorial sobre \mathbb R. Para isso, precisamos checar todos os axiomas de espaço vetorial, em particular a existência de elemento neutro aditivo e a compatibilidade do escalar zero com esse neutro.

Passo 2

Buscamos um vetor e=(e_1,e_2) que seja neutro para \oplus, ou seja,
(x,y)\oplus(e_1,e_2)=(x,y),\quad\forall(x,y).
Mas
(x,y)\oplus(e_1,e_2)=(x+e_1+1,\;y+e_2+1),
logo para obter (x,y) precisamos de
e_1+1=0,\quad e_2+1=0\quad\Longrightarrow\quad e=(-1,-1).

Passo 3

Um dos axiomas de espaço vetorial exige que
0_{\mathbb R}\odot u = 0_{\mathbf V}\quad\forall u\in\mathbf V,
onde 0_{\mathbb R}=0 e 0_{\mathbf V}=e=(-1,-1). Porém, calculamos
0\odot(x,y)=(0\cdot x,\;0\cdot y)=(0,0)\neq(-1,-1).
Portanto, a condição 0\odot u=0_{\mathbf V} não é satisfeita.

Resposta

\mathbf V com as operações dadas não é um espaço vetorial sobre \mathbb R. Um contra‐exemplo é que o escalar zero age como
0\odot(x,y)=(0,0),
que não coincide com o elemento neutro aditivo (-1,-1).

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