Quais dos subcojuntos do espaço vetoria l\left(\mathbb{R}^{3},+, \cdot\right), com as operações usuais são subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3} ?
\mathbf{W}_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y=1\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x - y = 1\} e quer saber se W_{1} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}. Para isso, lembramos os critérios:
  1. W_{1} deve conter o vetor zero;
  2. W_{1} deve ser fechado sob soma;
  3. W_{1} deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o primeiro critério tomando o vetor zero (0,0,0). Substituindo em x - y = 1 temos
0 - 0 = 0 \neq 1,
logo (0,0,0)\notin W_{1}. Como o conjunto não contém o vetor zero, já falha o teste de subespaço.

Resposta

W_{1} não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

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