Quais dos conjuntos
com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre
? Caso
não seja um espaço vetorial sobre
, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
, com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: para todo
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem o conjunto
, que significa todos os pares de números reais
. A questão quer saber se, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas,
forma um espaço vetorial sobre
. Pra isso, a gente precisa conferir se todas as propriedades de um espaço vetorial estão valendo com essas operações. Se não valem, a gente mostra quais propriedades não funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer pra ser um espaço vetorial. Existem 8 axiomas principais:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
- Identidade da multiplicação por escalar:
- Distributividade da multiplicação por escalar com relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar com relação à adição de escalares:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades com as operações definidas no exercício.
Passo 3
Vamos começar verificando a comutatividade da adição. Ou seja, precisamos ver se
.
Dados dois vetores
e
, temos:
Observamos que
e
, então
. Portanto, a comutatividade está ok.
Passo 4
Agora, vamos para a associatividade da adição:
.
Sejam
,
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Comparando os dois resultados:
Primeira componente:
– igual.
Segunda componente: vs
.
Segunda componente:
Aqui percebemos que não necessariamente
, a menos que
, o que não é garantido para todos os
.
Portanto, a associatividade não se mantém. Isso já nos mostra que
não é um espaço vetorial com as operações dadas.
Passo 5
Como já identificamos que a associatividade da adição não está valendo, a gente pode parar por aqui, mas vamos verificar mais algumas propriedades para entender melhor.
Vamos checar o elemento neutro da adição. Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Usando a definição de adição:
Para isso ser igual a
, precisaríamos que:
Resolver essas equações:
Da primeira,
. Substituindo na segunda:
→
e consequentemente
.
Então, o único vetor que funciona como neutro é
, mas mesmo assim, a definição não está válida para todos os vetores, já que a operação de adição não retorna o vetor original a não ser que
.
Isso confirma ainda mais que as propriedades de espaço vetorial não estão satisfeitas.
Passo 6
Outra propriedade importante é a identidade da multiplicação por escalar:
.
Vamos verificar:
Aqui temos um problema: na definição da multiplicação por escalar, o segundo componente é
, mas
não está definido no vetor
. Parece que houve um erro na formulação. Provavelmente, deveria ser
.
Assumindo que seja
, então:
Para isso igualar a
, precisaríamos que:
Assim como no passo anterior, isso só funciona se
e
, resultando em
e
. Então, novamente, a propriedade só funciona para o vetor nulo, não para todos os vetores de
.
Passo 7
Como já vimos, a operação de adição não é associativa e a identidade da multiplicação por escalar não funciona para todos os vetores, isso já é suficiente para concluir que
não é um espaço vetorial com as operações dadas.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre
. As propriedades que não funcionam são a associatividade da adição e a identidade da multiplicação por escalar, que não são válidas para todos os vetores de
.