Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre R? Caso V não seja um espaço vetorial sobre R, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
V=R^2=(x, y): x, y in R, com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: para todo (x, y),(a, b) in R^2 e alpha in R
(x, y)+(a, b) & =(3 y+3 b,-x-a) alpha cdot(x, y) & =(3 alpha y,-alpha a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem o conjunto V = R^2, que significa todos os pares de números reais (x, y). A questão quer saber se, com as operações de adição e multiplicação por escalar dadas, V forma um espaço vetorial sobre R. Pra isso, a gente precisa conferir se todas as propriedades de um espaço vetorial estão valendo com essas operações. Se não valem, a gente mostra quais propriedades não funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer pra ser um espaço vetorial. Existem 8 axiomas principais:
  1. Comutatividade da adição: u + v = v + u
  2. Associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w)
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor 0 tal que u + 0 = u
  4. Elemento inverso da adição: Para todo u , existe -u tal que u + (-u) = 0
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar: a(bu) = (ab)u
  6. Identidade da multiplicação por escalar: 1u = u
  7. Distributividade da multiplicação por escalar com relação à adição de vetores: a(u + v) = au + av
  8. Distributividade da multiplicação por escalar com relação à adição de escalares: (a + b)u = au + bu
Vamos verificar cada uma dessas propriedades com as operações definidas no exercício.

Passo 3

Vamos começar verificando a comutatividade da adição. Ou seja, precisamos ver se u + v = v + u .
Dados dois vetores u = (x, y) e v = (a, b) , temos:
u + v = (3y + 3b, -x - a)
v + u = (3b + 3y, -a - x)
Observamos que 3y + 3b = 3b + 3y e -x - a = -a - x , então u + v = v + u . Portanto, a comutatividade está ok.

Passo 4

Agora, vamos para a associatividade da adição: (u + v) + w = u + (v + w) .
Sejam u = (x, y) , v = (a, b) e w = (c, d) .
Calculando (u + v) + w :
u + v = (3y + 3b, -x - a)
(u + v) + w = (3y + 3b + 3d, - (3y + 3b) - c)
Calculando u + (v + w) :
v + w = (3b + 3d, -a - c)
u + (v + w) = (3y + 3d + 3b, -x - a - c)
Comparando os dois resultados:
Primeira componente: 3y + 3b + 3d = 3y + 3b + 3d – igual.
Segunda componente: -3y - 3b - c vs -x - a - c .
Aqui percebemos que não necessariamente -3y - 3b - c = -x - a - c , a menos que x = 3y + 3b , o que não é garantido para todos os u .
Portanto, a associatividade não se mantém. Isso já nos mostra que V não é um espaço vetorial com as operações dadas.

Passo 5

Como já identificamos que a associatividade da adição não está valendo, a gente pode parar por aqui, mas vamos verificar mais algumas propriedades para entender melhor.
Vamos checar o elemento neutro da adição. Precisamos encontrar um vetor 0 = (0x, 0y) tal que u + 0 = u .
Usando a definição de adição:
u + 0 = (3y + 3 cdot 0y, -x - 0x) = (3y, -x)
Para isso ser igual a u = (x, y) , precisaríamos que:
3y = x e -x = y
Resolver essas equações:
Da primeira, x = 3y . Substituindo na segunda: -3y = y y = 0 e consequentemente x = 0 .
Então, o único vetor que funciona como neutro é (0, 0) , mas mesmo assim, a definição não está válida para todos os vetores, já que a operação de adição não retorna o vetor original a não ser que x = 3y .
Isso confirma ainda mais que as propriedades de espaço vetorial não estão satisfeitas.

Passo 6

Outra propriedade importante é a identidade da multiplicação por escalar: 1 cdot u = u .
Vamos verificar:
1 cdot (x, y) = (3 cdot 1 cdot y, -1 cdot a)
Aqui temos um problema: na definição da multiplicação por escalar, o segundo componente é -alpha a , mas a não está definido no vetor (x, y) . Parece que houve um erro na formulação. Provavelmente, deveria ser -alpha x .
Assumindo que seja -alpha x , então:
1 cdot (x, y) = (3y, -x)
Para isso igualar a u = (x, y) , precisaríamos que:
3y = x e -x = y
Assim como no passo anterior, isso só funciona se x = 3y e y = -x , resultando em y = 0 e x = 0 . Então, novamente, a propriedade só funciona para o vetor nulo, não para todos os vetores de V.

Passo 7

Como já vimos, a operação de adição não é associativa e a identidade da multiplicação por escalar não funciona para todos os vetores, isso já é suficiente para concluir que V não é um espaço vetorial com as operações dadas.

Resposta

O conjunto V = R^2 com as operações definidas não é um espaço vetorial sobre R. As propriedades que não funcionam são a associatividade da adição e a identidade da multiplicação por escalar, que não são válidas para todos os vetores de V.

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