Quais dos conjuntos
com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre
? Caso
não seja um espaço vetorial sobre
, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
Seja
com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: para todo
e todo
Seja
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
, que é o espaço tridimensional de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas da seguinte forma:
Queremos verificar se esse conjunto
, com essas operações, forma um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas. Vamos precisar entender e aplicar as propriedades de espaços vetoriais para resolver a questão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial sobre
. As principais propriedades são:
- Fechamento em Adição: A soma de dois vetores em
também está em . - Comutatividade da Adição:
para todos . - Associatividade da Adição:
para todos . - Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero
tal que para todo . - Elemento Oposto: Para todo
, existe um vetor tal que . - Fechamento em Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar resulta em um vetor que também está em
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores:
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares:
. - Associatividade da Multiplicação por Escalar:
. - Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
para todo .
Vamos verificar essas propriedades uma a uma para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 3
1. Fechamento em Adição
A operação de adição está definida como:
Como
são todos números reais, a soma
,
, e
também será um número real. Portanto, a soma de dois vetores em
resulta em outro vetor em
.
Conclusão: A propriedade de fechamento em adição é satisfeita.
Passo 4
2. Comutatividade da Adição
Vamos verificar se
.
Sejam
e
, então:
Como a soma de números reais é comutativa (
), temos:
Conclusão: A propriedade de comutatividade da adição é satisfeita.
Passo 5
3. Associatividade da Adição
Vamos verificar se
.
Sejam
,
e
. Então:
Como a soma de números reais é associativa (
), temos:
Conclusão: A propriedade de associatividade da adição é satisfeita.
Passo 6
4. Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor
tal que
para todo
.
Suponha que
. Então:
Conclusão: O vetor
é o elemento neutro da adição em
.
Passo 7
5. Elemento Oposto
Para cada vetor
, precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Se
, então:
Conclusão: Para todo
, existe
que satisfaz a propriedade do elemento oposto.
Passo 8
6. Fechamento em Multiplicação por Escalar
A multiplicação por escalar está definida como:
Precisamos verificar se, para todo
e
, o resultado
também pertence a
.
Como
ainda é um número real, o vetor
pertence a
.
Conclusão: A propriedade de fechamento em multiplicação por escalar é satisfeita.
Passo 9
7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores
Queremos verificar se:
Sejam
e
. Então:
Para que
, devemos ter:
O que é verdadeiro devido à distributividade da multiplicação em relação à adição dos números reais.
Conclusão: A propriedade de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores é satisfeita.
Passo 10
8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares
Queremos verificar se:
Para
:
Para que
, devemos ter:
Enquanto a primeira igualdade
é verdadeira, as outras igualdades
e
só são verdadeiras se
e
, o que não é necessariamente o caso para todo
.
Conclusão: A propriedade de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita para vetores onde
ou
não são zero.
Passo 11
9. Associatividade da Multiplicação por Escalar
Vamos verificar se:
Para
:
Conclusão: A propriedade de associatividade da multiplicação por escalar é satisfeita.
Passo 12
10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Precisamos verificar se:
Para
:
Conclusão: A propriedade do elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeita.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, exceto a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Portanto,
não é um espaço vetorial sobre
devido à falha na propriedade de distributividade correspondente.