Quais dos conjuntos V com as operações indicadas de adição e multipicação por escalar é um espaço vetorial sobre R? Caso V não seja um espaço vetorial sobre R, mostre as propriedades que não funciona em determinado caso particular!
Seja V=R^3=(x, y, z): x, y, z in R com as operações de adição e multiplicação por escalar, definidas por: para todo (x, y, z),(a, b, c) in V=R^3 e todo lambda in R
(x, y, z)+(a, b, c) & =(x+a, y+b, z+c) lambda cdot(x, y, z) & =(lambda x, y, z)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o conjunto V = R^3 = (x, y, z) : x, y, z in R , que é o espaço tridimensional de números reais. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas da seguinte forma:
(x, y, z) + (a, b, c) &= (x + a, y + b, z + c) lambda cdot (x, y, z) &= (lambda x, y, z)
Queremos verificar se esse conjunto V , com essas operações, forma um espaço vetorial sobre R . Para isso, precisamos verificar se todas as propriedades que definem um espaço vetorial são satisfeitas. Vamos precisar entender e aplicar as propriedades de espaços vetoriais para resolver a questão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que um conjunto precisa satisfazer para ser considerado um espaço vetorial sobre R . As principais propriedades são:
  1. Fechamento em Adição: A soma de dois vetores em V também está em V .
  2. Comutatividade da Adição: u + v = v + u para todos u, v in V .
  3. Associatividade da Adição: (u + v) + w = u + (v + w) para todos u, v, w in V .
  4. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero 0 in V tal que v + 0 = v para todo v in V .
  5. Elemento Oposto: Para todo v in V , existe um vetor -v in V tal que v + (-v) = 0 .
  6. Fechamento em Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar resulta em um vetor que também está em V .
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores: lambda (u + v) = lambda u + lambda v .
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares: (lambda + mu) v = lambda v + mu v .
  9. Associatividade da Multiplicação por Escalar: lambda (mu v) = (lambda mu) v .
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: 1 cdot v = v para todo v in V .
Vamos verificar essas propriedades uma a uma para o conjunto V com as operações dadas.

Passo 3

1. Fechamento em Adição
A operação de adição está definida como:
(x, y, z) + (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c)
Como x, y, z, a, b, c são todos números reais, a soma x + a , y + b , e z + c também será um número real. Portanto, a soma de dois vetores em V resulta em outro vetor em V .
Conclusão: A propriedade de fechamento em adição é satisfeita.

Passo 4

2. Comutatividade da Adição
Vamos verificar se u + v = v + u .
Sejam u = (x, y, z) e v = (a, b, c) , então:
u + v = (x + a, y + b, z + c)
v + u = (a + x, b + y, c + z)
Como a soma de números reais é comutativa ( x + a = a + x ), temos:
(x + a, y + b, z + c) = (a + x, b + y, c + z)
Conclusão: A propriedade de comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 5

3. Associatividade da Adição
Vamos verificar se (u + v) + w = u + (v + w) .
Sejam u = (x, y, z) , v = (a, b, c) e w = (p, q, r) . Então:
(u + v) + w = (x + a, y + b, z + c) + (p, q, r) = ((x + a) + p, (y + b) + q, (z + c) + r)
u + (v + w) = (x, y, z) + (a + p, b + q, c + r) = (x + (a + p), y + (b + q), z + (c + r))
Como a soma de números reais é associativa ( (x + a) + p = x + (a + p) ), temos:
((x + a) + p, (y + b) + q, (z + c) + r) = (x + (a + p), y + (b + q), z + (c + r))
Conclusão: A propriedade de associatividade da adição é satisfeita.

Passo 6

4. Elemento Neutro da Adição
Precisamos encontrar um vetor 0 in V tal que v + 0 = v para todo v in V .
Suponha que 0 = (0, 0, 0) . Então:
(x, y, z) + (0, 0, 0) = (x + 0, y + 0, z + 0) = (x, y, z)
Conclusão: O vetor 0 = (0, 0, 0) é o elemento neutro da adição em V .

Passo 7

5. Elemento Oposto
Para cada vetor v = (x, y, z) , precisamos encontrar um vetor -v in V tal que v + (-v) = 0 .
Se -v = (-x, -y, -z) , então:
(x, y, z) + (-x, -y, -z) = (x + (-x), y + (-y), z + (-z)) = (0, 0, 0) = 0
Conclusão: Para todo v in V , existe -v = (-x, -y, -z) que satisfaz a propriedade do elemento oposto.

Passo 8

6. Fechamento em Multiplicação por Escalar
A multiplicação por escalar está definida como:
lambda cdot (x, y, z) = (lambda x, y, z)
Precisamos verificar se, para todo lambda in R e (x, y, z) in V , o resultado (lambda x, y, z) também pertence a V .
Como lambda x ainda é um número real, o vetor (lambda x, y, z) pertence a R^3 .
Conclusão: A propriedade de fechamento em multiplicação por escalar é satisfeita.

Passo 9

7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Vetores
Queremos verificar se:
lambda (u + v) = lambda u + lambda v
Sejam u = (x, y, z) e v = (a, b, c) . Então:
u + v = (x + a, y + b, z + c)
lambda (u + v) = (lambda (x + a), y + b, z + c)
lambda u + lambda v = (lambda x, y, z) + (lambda a, b, c) = (lambda x + lambda a, y + b, z + c)
Para que lambda (u + v) = lambda u + lambda v , devemos ter:
lambda (x + a) = lambda x + lambda a
O que é verdadeiro devido à distributividade da multiplicação em relação à adição dos números reais.
Conclusão: A propriedade de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores é satisfeita.

Passo 10

8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em relação à Adição de Escalares
Queremos verificar se:
(lambda + mu) v = lambda v + mu v
Para v = (x, y, z) :
(lambda + mu) v = ((lambda + mu) x, y, z)
lambda v + mu v = (lambda x, y, z) + (mu x, y, z) = (lambda x + mu x, y + y, z + z)
Para que (lambda + mu) v = lambda v + mu v , devemos ter:
(lambda + mu) x = lambda x + mu x e y + y = y e z + z = z
Enquanto a primeira igualdade (lambda + mu) x = lambda x + mu x é verdadeira, as outras igualdades y + y = y e z + z = z só são verdadeiras se y = 0 e z = 0 , o que não é necessariamente o caso para todo v in V .
Conclusão: A propriedade de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita para vetores onde y ou z não são zero.

Passo 11

9. Associatividade da Multiplicação por Escalar
Vamos verificar se:
lambda (mu v) = (lambda mu) v
Para v = (x, y, z) :
mu v = (mu x, y, z)
lambda (mu v) = (lambda (mu x), y, z) = (lambda mu x, y, z)
(lambda mu) v = ((lambda mu) x, y, z) = (lambda mu x, y, z)
Conclusão: A propriedade de associatividade da multiplicação por escalar é satisfeita.

Passo 12

10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar
Precisamos verificar se:
1 cdot v = v
Para v = (x, y, z) :
1 cdot v = (1 cdot x, y, z) = (x, y, z) = v
Conclusão: A propriedade do elemento neutro da multiplicação por escalar é satisfeita.

Resposta

O conjunto V = R^3 com as operações definidas satisfaz todas as propriedades de um espaço vetorial, exceto a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares. Portanto, V não é um espaço vetorial sobre R devido à falha na propriedade de distributividade correspondente.

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