Considere a transformação linear em R^3 dada por T(x, y, z)=(-y, 2 x+2 y+z, y).
( 1,0 )- Considere a base B=(1,1,1)(2,0,1)(0,1,0) de R^3. Determine [T]B^B, a matriz da transformação linear T na base B.

Passo 1

Olha só, a gente tem uma transformação linear T que age em R^3 da seguinte forma: T(x, y, z) = (-y, 2x + 2y + z, y) . A base que estamos considerando para R^3 é B = (1,1,1), (2,0,1), (0,1,0) . O que precisamos fazer é encontrar a matriz dessa transformação linear na base B , ou seja, [T]B^B . Para isso, vamos precisar aplicar T a cada vetor da base B e expressar o resultado como combinações lineares dos vetores da base B .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T no primeiro vetor da base B , que é v1 = (1, 1, 1) . Usando a definição de T :
T(v1) = T(1, 1, 1) = (-1, 2 times 1 + 2 times 1 + 1, 1) = (-1, 5, 1)

Passo 3

Agora, precisamos expressar [T(v_1) = (-1, 5, 1)) como uma combinação linear dos vetores da base :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos , e . Então:

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para o segundo vetor da base B , que é v2 = (2, 0, 1) . Aplicando T :
T(v2) = T(2, 0, 1) = (0, 2 times 2 + 2 times 0 + 1, 0) = (0, 5, 0)

Passo 5

Expressando [T(v_2) = (0, 5, 0)) como combinação linear dos vetores da base :
Sistema de equações:
Resolvendo, temos , e . Então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar T no terceiro vetor da base B , que é v3 = (0, 1, 0) :
T(v3) = T(0, 1, 0) = (-1, 2 times 0 + 2 times 1 + 0, 1) = (-1, 2, 1)

Passo 7

Expressando [T(v_3) = (-1, 2, 1)) como combinação linear dos vetores da base :
Sistema de equações:
Resolvendo, encontramos , e . Então:

Resposta

A matriz da transformação linear T na base B é:
[T]B^B = 2 & 0 & 32 -32 & 0 & -34 3 & 5 & 12

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