Quais dos subconjuntos de \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) são linermente independentes ?
\left\{x(x-1), x^{3}, 2 x^{3}-x^{2}, x\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
\{\,x(x-1),\; x^{3},\; 2x^{3}-x^{2},\; x\,\}
do espaço vetorial \mathcal{P}_{4}(\mathbb{R}) e pergunta quais desses subconjuntos são linearmente independentes.
Vou chamar, para facilitar, as quatro funções de
p_{1}(x)=x(x-1)=x^{2}-x,\quad p_{2}(x)=x^{3},\quad p_{3}(x)=2x^{3}-x^{2},\quad p_{4}(x)=x.
Informações relevantes dadas:
  • Os quatro vetores (polinômios) são p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} conforme acima.
  • Precisamos determinar se o conjunto todo é linearmente independente e, caso não seja, identificar quais subconjuntos (pares, trios, etc.) são independentes.

Passo 2

Definição e método de teste (mini-aula): um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o polinômio nulo for a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). Em termos práticos com polinômios: tomamos uma combinação
\alpha\,p_{1}(x)+\beta\,p_{2}(x)+\gamma\,p_{3}(x)+\delta\,p_{4}(x)=0\quad\text{(polinômio nulo)}ô
e igualamos coeficientes das potências de x. Se existir solução com algum coeficiente não-nulo, há dependência linear; se a única solução for \alpha=\beta=\gamma=\delta=0, o conjunto é independente. Essa é a técnica padrão para polinômios e funciona porque dois polinômios iguais têm coeficientes iguais.

Passo 3

Aplicando o método: escrevo a combinação linear e substituo os polinômios
\alpha(x^{2}-x)+\beta x^{3}+\gamma(2x^{3}-x^{2})+\delta x=0.
Agrupo por potências de x:
(\beta+2\gamma)x^{3}+(\alpha-\gamma)x^{2}+(-\alpha+\delta)x+0=0.
Igualando coeficientes com o polinômio zero obtemos o sistema linear
\begin{cases} \beta+2\gamma=0,\\[4pt] \alpha-\gamma=0,\\[4pt] -\alpha+\delta=0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo (explicando cada movimento):
Da segunda equação temos \alpha=\gamma.
Da terceira equação temos \delta=\alpha. Substituindo \alpha=\gamma obtemos \delta=\gamma.
Da primeira equação obtemos \beta=-2\gamma.
Portanto todas as incógnitas podem ser expressas em termos de \gamma:
\alpha=\gamma,\qquad \beta=-2\gamma,\qquad \delta=\gamma.
Isto mostra que existe uma solução não-trivial: por exemplo, escolhendo \gamma=1 obtemos \alpha=1,\beta=-2,\delta=1. Verificando explicitamente:
1\cdot p_{1}-2\cdot p_{2}+1\cdot p_{3}+1\cdot p_{4}=0,
porque
(x^{2}-x)-2x^{3}+(2x^{3}-x^{2})+x=0.
Logo há dependência linear entre os quatro vetores.

Passo 5

Interpretação da relação encontrada (como usar isso na prova): da igualdade
p_{1}-2p_{2}+p_{3}+p_{4}=0
podemos isolar, por exemplo, p_{3}:
p_{3}=2p_{2}-p_{1}-p_{4}.
Isto significa que p_{3} é combinação linear de p_{1},p_{2},p_{4}. Uma consequência prática: o conjunto dos quatro é linearmente dependente e o espaço gerado por eles tem dimensão (posto) igual a 3 ou menos; aqui é exatamente 3 porque encontramos apenas uma relação independente entre os quatro.

Passo 6

Agora vamos verificar os subconjuntos próprios (tamanho \le 3\)). Estrategicamente, se \(p_{3}\) é combinação de \(p_{1},p_{2},p_{4}\), então \(\{p_{1},p_{2},p_{4}\}\) gera \(p_{3}\). Mas ainda precisamos checar se \(\{p_{1},p_{2},p_{4}\}\) é independente. Faço isso montando a combinação \[a\,p_{1}+b\,p_{2}+c\,p_{4}=0
e igualando coeficientes. Repetindo o procedimento (mais rápido agora):
b x^{3}+a x^{2}+(-a+c)x=0
leva ao sistema
\begin{cases} b=0,\\[4pt] a=0,\\[4pt] -c+a=0. \end{cases}
Da segunda equação a=0\]; da terceira vem \(c= a=0; da primeira b=0. Portanto a única solução é a trivial a=b=c=0. Logo \{p_{1},p_{2},p_{4}\} é linearmente independente.]

Passo 7

Verificação rápida e geral para os demais subconjuntos de tamanho 3: basta anular o coeficiente correspondente ao polinômio removido e repetir o mesmo raciocínio (equacionar por potências de x). Se removemos qualquer um dos quatro, o sistema resultante força todos os coeficientes a zero (a estrutura das potências x^{3},x^{2},x é suficiente para concluir isso). Já fizemos explicitamente para \{p_{1},p_{2},p_{4}\}; os outros casos são análogos e dão apenas a solução trivial. Conclusão prática (útil em prova): qualquer tripla obtida desses quatro é linearmente independente.

Passo 8

Subconjuntos de tamanho 1 e 2: qualquer polinômio não-nulo sozinho é independente (portanto todos os singletons são independentes). Para pares, como os graus entre os polinômios são diferentes ou, no caso de dois polinômios de mesmo grau ( p_{2} e p_{3}, ambos grau 3), eles não são múltiplos escalares um do outro (por exemplo, p_{3} tem termo em x^{2} enquanto p_{2} não), logo nenhum par tem dependência não-trivial; portanto todos os pares também são independentes.

Passo 9

Resumo final do raciocínio (motivação para a prova): você só precisava montar a combinação linear, igualar coeficientes das potências de x e resolver o sistema. A existência de uma solução não-trivial prova dependência; a inexistência prova independência. Aqui encontramos uma relação não-trivial que envolve todas as quatro funções, o que implica dependência do conjunto todo e independência de todos os subconjuntos próprios de tamanho até 3.

Resposta

\{x(x-1),\;x^{3},\;2x^{3}-x^{2},\;x\} é linearmente dependente.
Todos os subconjuntos próprios não vazios (todos os singletons, todos os pares e todas as triplas) são linearmente independentes.

Exercícios relacionados