Os conjuntos que seguem são espaços vetoriais reais, com as operações usuais de mathbb{R}^{2} e mathbb{R}^{3}, respectivamente?
(b) O plano de \mathbb{R}^{3}, definido por \pi:\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 2 x+y+z=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
\pi = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid 2x + y + z = 0\}
é, com as operações usuais de \mathbb{R}^3, um espaço vetorial real.
O conteúdo que usamos aqui é o crité­rio de subespaço: um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço (logo espaço vetorial) se
  1. não é vazio (contém o vetor zero),
  2. é fechado sob soma,
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a \pi, pois
2\cdot 0 + 0 + 0 = 0.
Portanto \pi\neq\emptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma: tomemos \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1)\in\pi e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2)\in\pi.
Isso significa
2x_1 + y_1 + z_1 = 0 \quad\text{e}\quad 2x_2 + y_2 + z_2 = 0.
Então, para \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
2(x_1+x_2)\;+\;(y_1+y_2)\;+\;(z_1+z_2) = (2x_1+y_1+z_1) + (2x_2+y_2+z_2) = 0 + 0 = 0,
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in\pi.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z)\in\pi com 2x+y+z=0.
Então
\alpha\mathbf{u} = (\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z)
satisfaz
2(\alpha x) + (\alpha y) + (\alpha z) = \alpha\,(2x + y + z) = \alpha \cdot 0 = 0,
logo \alpha\mathbf{u}\in\pi.

Resposta

Sim. O plano \pi definido por 2x+y+z=0 é um subespaço de \mathbb{R}^3 e, portanto, é um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados