Os conjuntos que seguem são espaços vetoriais reais, com as operações usuais de
e
, respectivamente?
(b) O plano de
, definido por
.
(b) O plano de
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é, com as operações usuais de
, um espaço vetorial real.
O conteúdo que usamos aqui é o critério de subespaço: um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço (logo espaço vetorial) se
O conteúdo que usamos aqui é o critério de subespaço: um subconjunto de um espaço vetorial é subespaço (logo espaço vetorial) se
- não é vazio (contém o vetor zero),
- é fechado sob soma,
- é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
, pois
Portanto
.
Passo 3
Fechamento sob soma: tomemos
e
.
Isso significa
Isso significa
Então, para
,
logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
com
.
Então
Então
satisfaz
logo
.
Resposta
Sim. O plano
definido por
é um subespaço de
e, portanto, é um espaço vetorial real.