(3 pontos) Seja S=\left\{\left[\begin{array}{ll}3 a & a+b \\\\ 0 & a-b\end{array}\right] ; a, b \in \mathbb{R}\right\}.
(a) \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right] \in S ?
(b) S é subespaço de M(2 \times 2) ?
(c) Em caso afirmativo, determine uma base para este subespaço.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
S = \left\{\begin{pmatrix}3a & a+b\\[6pt]0 & a-b\end{pmatrix}\;:\;a,b\in\mathbb{R}\right\}
e pede:
(a) verificar se \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}\in S;
(b) decidir se S é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R});
(c) em caso afirmativo, encontrar uma base de S.
Vamos usar parametrização linear em a,b, verificar pertença e checar as propriedades de subespaço.]
mostra que S=\operatorname{span}\{M(1,0),\,M(0,1)\}. Essas duas matrizes são linearmente independentes (não há escalares \alpha,\beta não triviais com \alpha M(1,0)+\beta M(0,1)=0). Logo,