(3 pontos) Seja S=\left\{\left[\begin{array}{ll}3 a & a+b \\\\ 0 & a-b\end{array}\right] ; a, b \in \mathbb{R}\right\}.
(a) \left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 0 & -1\end{array}\right] \in S ?
(b) S é subespaço de M(2 \times 2) ?
(c) Em caso afirmativo, determine uma base para este subespaço.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \left\{\begin{pmatrix}3a & a+b\\[6pt]0 & a-b\end{pmatrix}\;:\;a,b\in\mathbb{R}\right\}
e pede:
(a) verificar se \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}\in S;
(b) decidir se S é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R});
(c) em caso afirmativo, encontrar uma base de S.
Vamos usar parametrização linear em a,b, verificar pertença e checar as propriedades de subespaço.]

Passo 2

Para (a), note que toda matriz de S tem a forma
M(a,b)=\begin{pmatrix}3a & a+b\\[4pt]0 & a-b\end{pmatrix}.
Queremos M(a,b)=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}. Igualando entradas:
  1. 3a=0 a=0.
  2. a+b=1 0+b=1 b=1.
  3. a-b=-1 0-1=-1, que coincide.
    Logo existe (a,b)=(0,1) tal que M(0,1)=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}, ou seja, a matriz dada pertence a S.]

Passo 3

Para (b), devemos mostrar que S é subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Três propriedades:
  1. Zero em S: para a=0 e b=0 temos
M(0,0)=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix},
o que é a matriz zero.
2. Fechamento sob soma: se
M(a_1,b_1),\;M(a_2,b_2)\in S,
então
M(a_1,b_1)+M(a_2,b_2) =\;M(a_1+a_2,\;b_1+b_2)\in S.
  1. Fechamento sob escalar: para \lambda\in\mathbb{R},
\lambda\,M(a,b)=M(\lambda a,\;\lambda b)\in S.
Portanto S satisfaz todas as condições e é subespaço.

Passo 4

Para (c), note que a parametrização
M(a,b)=a\underbrace{\begin{pmatrix}3&1\\\ 0&1\end{pmatrix}}_{M(1,0)} \;+\;b\underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}}_{M(0,1)}
mostra que S=\operatorname{span}\{M(1,0),\,M(0,1)\}. Essas duas matrizes são linearmente independentes (não há escalares \alpha,\beta não triviais com \alpha M(1,0)+\beta M(0,1)=0). Logo,
\Bigl\{\begin{pmatrix}3&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}\Bigr\}
é uma base de S.

Resposta

(a) Sim, pois basta a=0, b=1.
(b) Sim, S contém 0, é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
(c) Uma base de S é
\begin{pmatrix}3&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&-1\end{pmatrix}.

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