Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços de \mathbf{R}^{*} -
S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=0\right. e \left.z+t=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se S = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y=0 \text{ e } z+t=0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.
O conteúdo aqui é “subespaço de espaço vetorial” e usaremos os critérios padrão:
  1. conter o vetor nulo;
  2. ser fechado sob soma;
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0,0) está em S.
Como
0 + 0 = 0
e
0 + 0 = 0,
temos que \mathbf{0} satisfaz ambas as equações x+y=0 e z+t=0.
Logo, \mathbf{0}\in S.

Passo 3

Mostramos fechamento sob soma e escalar.
Sejam \displaystyle u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S e \displaystyle v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S,
isto é,
x_1+y_1=0,\quad z_1+t_1=0,
x_2+y_2=0,\quad z_2+t_2=0.
Então, para a soma u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2) temos
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0
e
(z_1+z_2)+(t_1+t_2)=(z_1+t_1)+(z_2+t_2)=0+0=0,
logo u+v\in S.
Para um escalar \alpha\in\mathbb{R}, \alpha u=(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1,\alpha t_1) satisfaz
\alpha x_1 + \alpha y_1 = \alpha(x_1+y_1)=\alpha\cdot0=0
e
\alpha z_1 + \alpha t_1 = \alpha(z_1+t_1)=\alpha\cdot0=0,
então \alpha u\in S.
Como S contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que S é subespaço de \mathbb{R}^4.

Resposta

Sim. S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

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