(2 pontos) Seja \mathbb{R}^{2}, com as operações
\begin{aligned} \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right) & =\left(2 y_{1}+2 y_{2},-x_{1}-x_{2}\right) \\\ \alpha(x, y) & =(2 \alpha y,-\alpha x) \end{aligned}
Verifique se \mathbb{R}^{2}, com estas operações, é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto \mathbb{R}^2 com as operações não usuais
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(2y_1+2y_2,\,-x_1-x_2), \quad \alpha\,(x,y)=(2\alpha y,\,-\alpha x),
e pede para verificar se isso forma um espaço vetorial real. Para isso basta checar as propriedades de espaço vetorial; em particular, se não existir o elemento neutro aditivo, já concluímos que não é espaço vetorial.

Passo 2

Procuramos o vetor neutro aditivo e=(a,b)\in\mathbb{R}^2 tal que, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2,
e+(x,y)=(x,y).
Pelo definido,
e+(x,y)=(2b+2y,\,-a-x).
Para isso ser igual a (x,y) para todo x,y, precisaríamos
2b+2y = x \quad\text{e}\quad -\,a - x = y,
para todos os x,y. A primeira equação diz 2b+2y=x para qualquer x,y, o que é impossível porque o lado esquerdo não depende de x de forma livre. Portanto não existe a,b que satisfaça essas igualdades para todos (x,y).

Resposta

Não é um espaço vetorial real, pois não existe elemento neutro para a adição.

Exercícios relacionados