(2 pontos) Seja
, com as operações
Verifique se
, com estas operações, é um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com as operações não usuais
e pede para verificar se isso forma um espaço vetorial real. Para isso basta checar as propriedades de espaço vetorial; em particular, se não existir o elemento neutro aditivo, já concluímos que não é espaço vetorial.
Passo 2
Procuramos o vetor neutro aditivo
tal que, para todo
,
Pelo definido,
Para isso ser igual a
para todo
, precisaríamos
para todos os
. A primeira equação diz
para qualquer
, o que é impossível porque o lado esquerdo não depende de
de forma livre. Portanto não existe
que satisfaça essas igualdades para todos
.
Resposta
Não é um espaço vetorial real, pois não existe elemento neutro para a adição.