Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções racionais.
O conjunto das funções racionais.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial sobre
quando equipamos
com a soma e multiplicação escalar usuais de funções.
Para isso precisamos checar:
Para isso precisamos checar:
- Fechamento em relação à soma e à multiplicação escalar.
- Existência do vetor zero e de inversos aditivos.
- Que todos os axiomas herdados de
(o espaço de todas as funções reais) continuam válidos em .
Passo 2
(Fechamento em relação à soma)
Sejam
Sejam
com
e
. Então
Como soma e produto de polinômios são polinômios, tanto o numerador quanto o denominador acima são polinômios, e o denominador não é o polinômio zero. Logo
.
Passo 3
(Fechamento em relação à multiplicação escalar)
Seja e
. Então
Seja
e
é novamente um polinômio. Como
, segue que
.
Passo 4
(Existência do vetor zero e de inversos aditivos)
– O vetor zero é a função nula
– O vetor zero é a função nula
que pertence a
.
– Para , o inverso aditivo é
– Para
também em
.
Passo 5
(Herança dos demais axiomas)
Todas as outras propriedades (associatividade e comutatividade da soma, distributividade da multiplicação escalar, existência de , etc.) vêm do fato de
ser um subconjunto de
onde essas leis já valem, e não são violadas pelas fórmulas de soma e escalar.
Todas as outras propriedades (associatividade e comutatividade da soma, distributividade da multiplicação escalar, existência de
Resposta
O conjunto das funções racionais
, com as operações usuais, é de fato um espaço vetorial sobre
.