Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções racionais.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
R = l,f(x)=tfracp(x)q(x) mid p,q são polinômios em Bbb R[x],;qnotequiv0r ãô
é um espaço vetorial sobre Bbb R quando equipamos R com a soma e multiplicação escalar usuais de funções.
Para isso precisamos checar:
  1. Fechamento em relação à soma e à multiplicação escalar.
  2. Existência do vetor zero e de inversos aditivos.
  3. Que todos os axiomas herdados de Bbb R^X (o espaço de todas as funções reais) continuam válidos em R.

Passo 2

(Fechamento em relação à soma)
Sejam
f(x)=p1(x)q1(x), g(x)=p2(x)q2(x)
com pi,qiinBbb R[x] e qinotequiv0. Então
f(x)+g(x) =p1(x)q1(x)+p2(x)q2(x) =p1(x),q2(x)+p2(x),q1(x)q1(x),q2(x)
Como soma e produto de polinômios são polinômios, tanto o numerador quanto o denominador acima são polinômios, e o denominador não é o polinômio zero. Logo f+gin R.

Passo 3

(Fechamento em relação à multiplicação escalar)
Seja alphainBbb R e f(x)=tfracp(x)q(x). Então
alphacdot f(x) =alpha;p(x)q(x) =alpha,p(x)q(x),
e alpha,p(x) é novamente um polinômio. Como qnotequiv0, segue que alpha fin R.

Passo 4

(Existência do vetor zero e de inversos aditivos)
– O vetor zero é a função nula
0(x)=01,
que pertence a R.
– Para f(x)=tfracp(x)q(x), o inverso aditivo é
-f(x)=-p(x)q(x),
também em R.

Passo 5

(Herança dos demais axiomas)
Todas as outras propriedades (associatividade e comutatividade da soma, distributividade da multiplicação escalar, existência de 1cdot f=f, etc.) vêm do fato de R ser um subconjunto de Bbb R^X onde essas leis já valem, e não são violadas pelas fórmulas de soma e escalar.

Resposta

O conjunto das funções racionais R, com as operações usuais, é de fato um espaço vetorial sobre Bbb R.

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