Encontre em cada caso os valores de k que tal que os seguintes sistemas
  • única solução.
  • infinitas soluções.
  • nenhuma solução.
    lk x+2 k y+3 k z=4 k x+y+z=0 2 x-y+z=1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
k x + 2k y + 3k z = 4k, x + y + z = 0, 2x - y + z = 1,
e pede para determinar, em função de k, quando o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo é análise de sistemas lineares com parâmetro, usando determinante para a existência de solução única e estudo de consistência quando o determinante anula-se.

Passo 2

Caso
Então o sistema torna-se
O determinante da matriz de coeficientes
Como o determinante é não nulo, o sistema tem solução única para todo (k\neq0].

Passo 3

Caso
São duas equações em três incógnitas. Para checar consistência, basta resolver em função de um parâmetro, por exemplo . Substituindo na segunda:
Vemos que existe família de soluções (um grau de liberdade ). Logo, para infinitas soluções.

Resposta

  • Solução única: kneq0.
  • Infinitas soluções: k=0.
  • Nenhuma solução: não ocorre para nenhum valor de k.

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