Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções reais ímpares.
O conjunto das funções reais ímpares.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
das funções ímpares é um espaço vetorial real com as operações usuais. Vamos tratar isso como um subespaço do espaço de todas as funções
e checar os axiomas essenciais de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que
é não vazio exibindo o zero vetorial. A função zero
satisfaz
logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Se
então
portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Se
e
então
logo
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e escalar, e herda os demais axiomas (associatividade, comutatividade, inverso aditivo, distributividade etc.) do espaço de todas as funções, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto das funções reais ímpares é um espaço vetorial real.