Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções reais ímpares.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,f:RtoRmid f(-x)=-f(x)
das funções ímpares é um espaço vetorial real com as operações usuais. Vamos tratar isso como um subespaço do espaço de todas as funções RtoR e checar os axiomas essenciais de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que S é não vazio exibindo o zero vetorial. A função zero
f0(x)=0
satisfaz
f0(-x)=0=-0=-f0(x),
logo f0in S.

Passo 3

Fechamento sob adição. Se f,gin S então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))=-(f+g)(x),
portanto f+gin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Se fin S e alphainR então
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha(-f(x))=-alpha f(x)=-(alpha f)(x),
logo alpha fin S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e escalar, e herda os demais axiomas (associatividade, comutatividade, inverso aditivo, distributividade etc.) do espaço de todas as funções, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de R^R.

Resposta

O conjunto das funções reais ímpares é um espaço vetorial real.

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