Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores
em
tais que
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
forma um espaço vetorial real sob as operações usuais de
. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que
contém o vetor zero, é fechado em adição e em multiplicação por escalar, e herda os demais axiomas de
.
Passo 2
Fechamento em adição. Sejam
Então
pois a terceira coordenada continua sendo zero.
Passo 3
Fechamento em multiplicação por escalar. Para
e
,
logo
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Existência do vetor zero e inversos aditivos. O vetor zero de
é
, que pertence a
pois satisfaz
. Para
, seu inverso aditivo é
Passo 5
Como
herda de
a associatividade e comutatividade da adição, a distributividade e todos os demais axiomas, e já verificamos fechamento, vetor zero e inversos, concluímos que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial real (é subespaço de
).