Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores (x, y, z) em R^3 tais que z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = (x,y,z)inR^3 mid z=0
forma um espaço vetorial real sob as operações usuais de R^3. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que V contém o vetor zero, é fechado em adição e em multiplicação por escalar, e herda os demais axiomas de R^3.

Passo 2

Fechamento em adição. Sejam
u=(x1,y1,0), v=(x2,y2,0)in V
Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;0+0)=(x1+x2,y1+y2,0)in V,
pois a terceira coordenada continua sendo zero.

Passo 3

Fechamento em multiplicação por escalar. Para alphainR e u=(x,y,0)in V,
alpha,u=(alpha x,;alpha y,;alphacdot0)=(alpha x,alpha y,0)in V,
logo V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Existência do vetor zero e inversos aditivos. O vetor zero de R^3 é (0,0,0), que pertence a V pois satisfaz z=0. Para u=(x,y,0)in V, seu inverso aditivo é
-u=(-x,-y,0)in V

Passo 5

Como V herda de R^3 a associatividade e comutatividade da adição, a distributividade e todos os demais axiomas, e já verificamos fechamento, vetor zero e inversos, concluímos que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.

Resposta

O conjunto (x,y,z)inR^3mid z=0 é um espaço vetorial real (é subespaço de R^3).

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