Encontre em cada caso os valores de k que tal que os seguintes sistemas
  • única solução.
  • infinitas soluções.
  • nenhuma solução.
    l4 x+k y=7 k x+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
4x + k,y = 7, k,x + y = 0,
com parâmetro k. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares 2times 2: sabemos que a existência e o tipo de solução dependem do determinante da matriz dos coeficientes e da consistência do sistema quando o determinante for zero.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes
A = 4 & k k & 1 ,
det(A)=4cdot1 - kcdot k = 4 - k^2
Pelo teorema de Cramer, o sistema tem única solução se, e somente se,
det(A)neq 0Long<=ftrightarrow4 - k^2 neq 0Long<=ftrightarrow k^2neq 4Long<=ftrightarrow kneq pm2

Passo 3

Quando det(A)=0, isto é k^2=4 ou k=pm2, a matriz se torna singular e podemos ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo da consistência.
Para k=2: a segunda equação 2x + y = 0 y=-2x. Substituindo na primeira:
4x + 2(-2x) = 4x - 4x = 0 neq 7,
inconsistência, logo nenhuma solução.
Para k=-2: a segunda equação -2x + y = 0 y=2x. Substituindo na primeira:
4x + (-2),(2x) = 4x - 4x = 0 neq 7,
também inconsistente, logo nenhuma solução.

Passo 4

Não há possibilidade de infinitas soluções porque, nos casos k=pm2, o sistema fica sempre inconsistente.

Resposta

Única solução: kneq pm2
Infinitas soluções: nenhum valor de k
Nenhuma solução: k=2 ou k=-2

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