Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores (x, y, z) em R^3 tais que x=0 ou y=0.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x=0 ou y=0
com as operações usuais em R^3 e decidir se é um espaço vetorial real. O conteúdo é subespaços vetoriais: precisamos checar os axiomas, em especial o fechamento sob adição e sob multiplicação escalar, existência do vetor zero e de inversos aditivos.

Passo 2

Verificamos alguns axiomas básicos:
– O vetor zero (0,0,0) satisfaz x=0, logo (0,0,0)in S.
– Fechamento sob multiplicação escalar: se (x,y,z)in S, então ou x=0 ou y=0. Para qualquer alphainR, alpha x=0 ou alpha y=0, logo alpha(x,y,z)in S.
– Inverso aditivo: se (x,y,z)in S, então -(x,y,z)=(-x,-y,-z) também tem -x=0 ou -y=0, logo -(x,y,z)in S.

Passo 3

Fechamento sob adição falha. Basta um contra-exemplo:
u=(1,0,0)in S, v=(0,1,0)in S,
mas
u+v=(1,1,0),
no qual x=1neq0 e y=1neq0, logo (1,1,0)notin S. Assim não é garantido que a soma de dois vetores de S permaneça em S.

Passo 4

Como o fechamento sob adição não vale, o conjunto não satisfaz o axioma de subespaço (fechamento da soma) e, portanto, não é um espaço vetorial real.

Resposta

O conjunto não é espaço vetorial, pois falha o axioma de fechamento sob adição.

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