Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores
em
tais que
ou
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
com as operações usuais em e decidir se é um espaço vetorial real. O conteúdo é subespaços vetoriais: precisamos checar os axiomas, em especial o fechamento sob adição e sob multiplicação escalar, existência do vetor zero e de inversos aditivos.
com as operações usuais em
Passo 2
Verificamos alguns axiomas básicos:
– O vetor zero satisfaz
, logo
.
– Fechamento sob multiplicação escalar: se , então ou
ou
. Para qualquer
,
ou
, logo
.
– Inverso aditivo: se , então
também tem
ou
, logo
.
– O vetor zero
– Fechamento sob multiplicação escalar: se
– Inverso aditivo: se
Passo 3
Fechamento sob adição falha. Basta um contra-exemplo:
mas
no qual
e
, logo
. Assim não é garantido que a soma de dois vetores de
permaneça em
.
Passo 4
Como o fechamento sob adição não vale, o conjunto não satisfaz o axioma de subespaço (fechamento da soma) e, portanto, não é um espaço vetorial real.
Resposta
O conjunto não é espaço vetorial, pois falha o axioma de fechamento sob adição.