Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores (x, y, z) em R^3 que são múltiplos de (1,2,3).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid (x,y,z) = t,(1,2,3) para algum tinR,
ou seja, todos os múltiplos escalares do vetor (1,2,3). O conteúdo aqui é a teoria de subespaços vetoriais de R^3: para mostrar que S é ou não um espaço vetorial real (com adição e multiplicação por escalar usuais), precisamos verificar os axiomas de subespaço (fechamento em soma e em produto escalar, presença do zero e do inverso aditivo).

Passo 2

Verificamos a existência do vetor zero: tomando t=0 em (x,y,z)=t,(1,2,3) obtemos
0,(1,2,3) = (0,0,0)in S
Logo, S contém o vetor nulo de R^3.

Passo 3

Fechamento sob adição. Sejam
u = t,(1,2,3)e v = s,(1,2,3),
com t,sinR. Então
u + v = t,(1,2,3) + s,(1,2,3) = (t+s),(1,2,3),
e como t+sinR, segue que u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja lambdainR e
u = t,(1,2,3)in S
Então
lambda,u = lambda,l(t,(1,2,3)r) = (lambda t),(1,2,3),
e como lambda tinR, temos lambda,uin S.

Passo 5

Inverso aditivo. Para u = t,(1,2,3), o inverso aditivo em R^3 é
-u = -l(t,(1,2,3)r) = (-t),(1,2,3)in S
Os outros axiomas (associatividade, comutatividade da soma, distributividade, existência do escalar unitário etc.) são herdados de R^3.

Resposta

S satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial real (é um subespaço de R^3). Portanto, é sim um espaço vetorial real.

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