Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores
em
que são múltiplos de
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado define o conjunto
ou seja, todos os múltiplos escalares do vetor
. O conteúdo aqui é a teoria de subespaços vetoriais de
: para mostrar que
é ou não um espaço vetorial real (com adição e multiplicação por escalar usuais), precisamos verificar os axiomas de subespaço (fechamento em soma e em produto escalar, presença do zero e do inverso aditivo).
Passo 2
Verificamos a existência do vetor zero: tomando
em
obtemos
Logo,
contém o vetor nulo de
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Sejam
com
. Então
e como
, segue que
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
Então
e como
, temos
.
Passo 5
Inverso aditivo. Para
, o inverso aditivo em
é
Os outros axiomas (associatividade, comutatividade da soma, distributividade, existência do escalar unitário etc.) são herdados de
.