Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes
cujo traço é zero.
O conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é de fato um espaço vetorial real, usando as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Para isso, vamos lembrar o critério de subespaço: basta mostrar que
não é vazio, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio encontrando um elemento óbvio: a matriz nula
Como
, temos
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
, isto é,
e
. Sabemos que a função traço é linear, logo
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Novamente pela linearidade do traço,
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
. Como
já é um espaço vetorial real,
herda todos os axiomas restantes (associatividade, comutatividade, existência de inverso aditivo etc.) e torna-se, portanto, um espaço vetorial real.
Resposta
O conjunto das matrizes
de traço zero é, sim, um espaço vetorial real.