Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes 2 times 2 cujo traço é zero.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = Ain M2times2(R) mid tr(A)=0
é de fato um espaço vetorial real, usando as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Para isso, vamos lembrar o critério de subespaço: basta mostrar que V não é vazio, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que V não é vazio encontrando um elemento óbvio: a matriz nula
O = 0 & 00 & 0
Como tr(O)=0+0=0, temos Oin V.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja A,Bin V, isto é, tr(A)=0 e tr(B)=0. Sabemos que a função traço é linear, logo
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0
Portanto A+Bin V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja Ain V e lambdainR. Novamente pela linearidade do traço,
tr(lambda A)=lambda,tr(A)=lambdacdot 0=0,
logo lambda Ain V.

Passo 5

Como V contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar, concluímos que V é um subespaço de M2times 2(R). Como M2times 2(R) já é um espaço vetorial real, V herda todos os axiomas restantes (associatividade, comutatividade, existência de inverso aditivo etc.) e torna-se, portanto, um espaço vetorial real.

Resposta

O conjunto das matrizes 2times2 de traço zero é, sim, um espaço vetorial real.

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