Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes 2 times 2 cujo determinante é zero.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = ,AinR^2times2mid det(A)=0
é um espaço vetorial real, assumindo as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso vamos usar o teste de subespaço: verificar se (i) o vetor zero está em V, (ii) V é fechado sob adição e (iii) V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor zero e da multiplicação por escalar:
  • A matriz zero O satisfaz det(O)=0, logo Oin V.
  • Se Ain V, então det(A)=0. Para qualquer escalar lambdainR temos
det(lambda A) = lambda^2,det(A) = lambda^2cdot0 = 0,
portanto lambda Ain V. Assim a condição de fechamento sob multiplicação por escalar está satisfeita.

Passo 3

Verificação da fechamento sob adição: precisamos que, para quaisquer A,Bin V, também A+ B in V. Mas podemos dar um contraexemplo concreto:
A = 1&00&0, B = 0&00&1
Aqui det(A)=0 e det(B)=0, mas
A + B = 1&00&1,
e det(A+B)=1neq 0. Logo A+ B notin V. Isso mostra que o conjunto não é fechado sob adição.

Resposta

O conjunto das matrizes 2times2 de determinante zero não é um espaço vetorial real, pois falha o axioma de fechamento sob adição: a soma de duas matrizes singulares pode ser não singular.

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