Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes
cujo determinante é zero.
O conjunto das matrizes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial real, assumindo as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso vamos usar o teste de subespaço: verificar se (i) o vetor zero está em
, (ii)
é fechado sob adição e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação do vetor zero e da multiplicação por escalar:
- A matriz zero
satisfaz , logo . - Se
, então . Para qualquer escalar temos
portanto
. Assim a condição de fechamento sob multiplicação por escalar está satisfeita.
Passo 3
Verificação da fechamento sob adição: precisamos que, para quaisquer
, também
. Mas podemos dar um contraexemplo concreto:
Aqui
e
, mas
e
. Logo
. Isso mostra que o conjunto não é fechado sob adição.
Resposta
O conjunto das matrizes
de determinante zero não é um espaço vetorial real, pois falha o axioma de fechamento sob adição: a soma de duas matrizes singulares pode ser não singular.