Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes 2 times 2 que são simétricas, i.e, A=A^T.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = Ain M2times2(R) mid A = A^T
com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar em R é um espaço vetorial real. Vamos usar o fato de que M2times2(R) já é um espaço vetorial e mostrar que S é um subespaço, isto é, satisfaz fechamento sob soma, fechamento sob multiplicação escalar, contém a matriz zero e possui inverso aditivo.

Passo 2

Fechamento sob adição. Sejam A,Bin S. Então
A^T = A e B^T = B
A soma A+B satisfaz
(A+B)^T = A^T + B^T = A + B,
logo A+Bin S. Isso mostra que S é fechado sob adição.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e Ain S. Então
A^T = A Longrightarrow (alpha A)^T = alpha,A^T = alpha A,
portanto alpha Ain S. Assim S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Existência da matriz zero e do inverso aditivo. A matriz zero
0 = 0 & 0 0 & 0
satisfaz 0^T = 0, logo 0 in S. Para cada A in S, o inverso aditivo é -A, e
(-A)^T = -,A^T = -A,
então -A in S.

Passo 5

Como todos os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade, comutatividade da soma, existência de unidade escalar etc.) já valem em M2times2(R) e são preservados em subespaços, concluímos que S é um subespaço de M2times2(R).

Resposta

O conjunto das matrizes 2times2 simétricas é um espaço vetorial real.

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