Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes que são simétricas, i.e, .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar em é um espaço vetorial real. Vamos usar o fato de que já é um espaço vetorial e mostrar que é um subespaço, isto é, satisfaz fechamento sob soma, fechamento sob multiplicação escalar, contém a matriz zero e possui inverso aditivo.
Passo 2
Fechamento sob adição. Sejam . Então
A soma satisfaz
logo . Isso mostra que é fechado sob adição.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja e . Então
portanto . Assim é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Existência da matriz zero e do inverso aditivo. A matriz zero
satisfaz 0^T = 0, logo 0 in S. Para cada A in S, o inverso aditivo é -A, e
(-A)^T = -,A^T = -A,
então -A in S.
Passo 5
Como todos os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade, comutatividade da soma, existência de unidade escalar etc.) já valem em M2times2(R) e são preservados em subespaços, concluímos que S é um subespaço de M2times2(R).
Resposta
O conjunto das matrizes 2times2 simétricas é um espaço vetorial real.