Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores
que satisfazem a equação linear
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com as operações usuais de
é um espaço vetorial sobre
. O conteúdo aqui é justamente reconhecimento de subespaços vetoriais: precisamos checar que
contém o vetor zero, que é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo de
, ou seja
, pertence a
, pois
Logo,
e já temos o primeiro requisito.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob adição. Tomemos
e
em
. Então
Somando ambas as igualdades obtém-se
logo
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como herdamos de
as demais propriedades (associatividade, comutatividade da soma, existência de oposto, distribuições etc.), concluímos que
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e, portanto, é um espaço vetorial real.