Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfazem a equação linear 5 x+2 y+3 z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = (x,y,z)in R^3 mid 5x + 2y + 3z = 0
com as operações usuais de R^3 é um espaço vetorial sobre R. O conteúdo aqui é justamente reconhecimento de subespaços vetoriais: precisamos checar que W contém o vetor zero, que é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo de R^3, ou seja (0,0,0), pertence a W, pois
5cdot 0 + 2cdot 0 + 3cdot 0 = 0
Logo, Wneq varnothing e já temos o primeiro requisito.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição. Tomemos
(x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em W. Então
5x1 + 2y1 + 3z1 = 0 e 5x2 + 2y2 + 3z2 = 0
Somando ambas as igualdades obtém-se
5(x1+x2) + 2(y1+y2) + 3(z1+z2) = 0 + 0 = 0,
logo (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e (x,y,z)in W. Então
5(alpha x) + 2(alpha y) + 3(alpha z) = alpha,(5x + 2y + 3z) = alpha cdot 0 = 0,
logo alpha(x,y,z)in W.

Passo 5

Como herdamos de R^3 as demais propriedades (associatividade, comutatividade da soma, existência de oposto, distribuições etc.), concluímos que W satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

O conjunto (x,y,z)inR^3 mid 5x+2y+3z=0 é um subespaço de R^3 e, portanto, é um espaço vetorial real.

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