Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores
que satisfazem a equação linear
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado define o conjunto
queremos verificar se
, com a adição e a multiplicação escalar usuais em
, é um espaço vetorial real. Para isso basta mostrar que
é um subespaço de
: não vazio, fechado sob soma e escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio observando o vetor nulo. De fato,
logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
e
em
. Então
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. Então
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar,
é subespaço de
e, portanto, um espaço vetorial real.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial real (subespaço de
).