Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfazem a equação linear a1 x+a2 y+a3 z=0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (x,y,z)inR^3 mid a1x + a2y + a3z = 0,
queremos verificar se V, com a adição e a multiplicação escalar usuais em R^3, é um espaço vetorial real. Para isso basta mostrar que V é um subespaço de R^3: não vazio, fechado sob soma e escalar.

Passo 2

Mostramos que V não é vazio observando o vetor nulo. De fato,
a1cdot 0 + a2cdot 0 + a3cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)in V.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em V. Então
a1(x1+x2)+a2(y1+y2)+a3(z1+z2) =l(a1x1+a2y1+a3z1r) +l(a1x2+a2y2+a3z2r) =0+0=0
Logo (x1+x2,y1+y2,z1+z2)in V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja lambdainR e (x,y,z)in V. Então
a1(lambda x)+a2(lambda y)+a3(lambda z) =lambdal(a1x+a2y+a3zr) =lambdacdot 0=0,
logo (lambda x,lambda y,lambda z)in V.

Passo 5

Como V contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar, V é subespaço de R^3 e, portanto, um espaço vetorial real.

Resposta

O conjunto (x,y,z)inR^3 mid a1x + a2y + a3z = 0 é um espaço vetorial real (subespaço de R^3).

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