Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores (x, y, z) que satisfazem as equações lineares 5 x+2 y=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = (x,y,z)inR^3 mid 5x+2y=0, z=0
é um espaço vetorial real com as operações usuais. Para isso basta usar o critério de subespaço em R^3: mostrar que S não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em S.
O vetor zero é (0,0,0). Substituindo nas condições:
5cdot0 + 2cdot0 = 0, 0 = 0
Logo (0,0,0)in S, ou seja, S não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Sejam u=(x1,y1,0) e v=(x2,y2,0) em S. Então
5x1 + 2y1 = 0, 5x2 + 2y2 = 0
A soma é u+v=(x1+x2,;y1+y2,;0). Verificamos:
5(x1+x2) + 2(y1+y2) = (5x1+2y1) + (5x2+2y2) = 0 + 0 = 0,
e a terceira componente continua 0. Logo u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja u=(x,y,0)in S e alphainR. Então alphau=(alpha x,alpha y,0) e
5(alpha x) + 2(alpha y) = alpha,(5x+2y) = alphacdot0 = 0,
componente z continua 0. Logo alphauin S.

Resposta

O conjunto S é um subespaço de R^3 e, portanto, é um espaço vetorial real (não falta satisfazer nenhum axioma).

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