Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos vetores
que satisfazem as equações lineares
e
.
O conjunto dos vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial real com as operações usuais. Para isso basta usar o critério de subespaço em
: mostrar que
não é vazio, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
.
O vetor zero é . Substituindo nas condições:
O vetor zero é
Logo
, ou seja,
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob adição.
Sejam e
em
. Então
Sejam
A soma é
. Verificamos:
e a terceira componente continua
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Então
e
Seja
componente
continua
. Logo
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço de
e, portanto, é um espaço vetorial real (não falta satisfazer nenhum axioma).