Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos elementos em R^2 da forma (0, y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o subconjunto de R^2 formado por todos os vetores da forma (0,y) é um espaço vetorial real, usando as operações usuais de R^2. Vamos usar o critério de subespaço: basta checar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de R^2, que é (0,0), pertence ao conjunto. Como (0,0) tem a forma (0,y) com y=0, concluímos que o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Checamos a fechamento sob adição. Sejam (0,y1) e (0,y2) dois vetores do conjunto. Então
(0,y1)+(0,y2) = (0,;y1+y2),
que de novo é da forma (0,y). Logo, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para um escalar cinR e um vetor (0,y) do conjunto, temos
ccdot(0,y) = (0,;c,y),
que permanece na forma (0,y). Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar, ele satisfaz todos os axiomas de subespaço de R^2. Assim, herda todos os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

O conjunto (0,y)mid yinR é um espaço vetorial real (é de fato o subespaço “eixo- y” de R^2).

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