Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto dos elementos em
da forma
.
O conjunto dos elementos em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o subconjunto de
formado por todos os vetores da forma
é um espaço vetorial real, usando as operações usuais de
. Vamos usar o critério de subespaço: basta checar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
, que é
, pertence ao conjunto. Como
tem a forma
com
, concluímos que o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Checamos a fechamento sob adição. Sejam
e
dois vetores do conjunto. Então
que de novo é da forma
. Logo, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Checamos o fechamento sob multiplicação escalar. Para um escalar
e um vetor
do conjunto, temos
que permanece na forma
. Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação escalar, ele satisfaz todos os axiomas de subespaço de
. Assim, herda todos os axiomas de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
é um espaço vetorial real (é de fato o subespaço “eixo-
” de
).