Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto de todas as matrizes
da forma:
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
O enunciado define o conjunto
que é um subconjunto de todas as matrizes reais
. O conteúdo envolvido é o de verificar se
é um subespaço (e portanto um espaço vetorial real) de
. Para isso precisamos checar se
contém o vetor zero, e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar (o que garante automaticamente existência de inverso aditivo e demais axiomas, pois
já é espaço vetorial).
Passo 2
Fechamento sob adição. Tomemos
com
. Então
onde
e
. Logo
.)
Passo 3
Fechamento sob multiplicação escalar. Para
,
com
e
. Logo
.
Passo 4
Vetor zero. Basta escolher
e
, pois
é o elemento neutro da adição e pertence a
.
Passo 5
Inverso aditivo. Dada
,
seu inverso é
,
seu inverso é
que também está em
(com parâmetros
e
).
Passo 6
Como
contém o zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço de
e, portanto, um espaço vetorial real.
Resposta
O conjunto dado é um espaço vetorial real (subespaço de
).