Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 da forma:
[cc a & a+b a+b & b ]

Passo 1

O enunciado define o conjunto
que é um subconjunto de todas as matrizes reais . O conteúdo envolvido é o de verificar se é um subespaço (e portanto um espaço vetorial real) de . Para isso precisamos checar se contém o vetor zero, e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar (o que garante automaticamente existência de inverso aditivo e demais axiomas, pois já é espaço vetorial).

Passo 2

Fechamento sob adição. Tomemos
com . Então
onde e . Logo .)

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar. Para ,
com e . Logo .

Passo 4

Vetor zero. Basta escolher a=0 e b=0, pois
0 & 0+00+0 & 0 =0 & 00 & 0
é o elemento neutro da adição e pertence a M.

Passo 5

Inverso aditivo. Dada
,
seu inverso é
que também está em (com parâmetros e ).

Passo 6

Como M contém o zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalares, concluímos que M é um subespaço de M2times2(R) e, portanto, um espaço vetorial real.

Resposta

O conjunto dado é um espaço vetorial real (subespaço de M2times2(R)).

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