Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes reais da forma:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
U = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f : a,b,c,d,e,finR
é um espaço vetorial real, usando adição e multiplicação escalar usuais. Vamos lembrar que basta mostrar que U é subespaço de M3times3(R):
contém o vetor zero,
é fechado em soma,
é fechado em multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero. A matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
está em U, pois claramente tem zeros abaixo da diagonal principal. Logo o zero do espaço maior pertence a U.
X+Y = a1+a2 & b1+b2 & c1+c2 0 & d1+d2 & e1+e2 0 & 0 & f1+f2 in U,
pois ainda há zeros nas posições (2,1), (3,1) e (3,2). E para lambdainR,
lambda X = lambda a1 & lambda b1 & lambda c1 0 & lambda d1 & lambda e1 0 & 0 & lambda f1 in U
Também cada elemento tem inverso aditivo em U (simplesmente negando todos os coeficientes). Os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, distributividade, etc.) vêm diretamente de M3times3(R).
Resposta
O conjunto U é um espaço vetorial real (subespaço de M3times3(R)), pois satisfaz todos os axiomas: contém o zero, é fechado em soma e multiplicação escalar, e herda os demais axiomas do espaço ambiente.