Considere os sistemas lineares
S1=lx+y-z=0 x+2 y=0 x+y+z=0 S2=lx+y-z=0 x+2 y=0
sobre R. Mostre que o conjunto solução de S1 é um subespaço vetorial do conjunto solução de S2.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas homogêneos em
Queremos mostrar que o conjunto solução de , é um subespaço vetorial do conjunto solução de , digamos . Vamos usar dois fatos:
  1. Qualquer sistema homogêneo tem solução zero e é fechado em soma e multiplicação por escalar.
  2. Se toda solução de satisfaz as equações de , então .

Passo 2

Mostramos a inclusão S1 subseteq S2.
Por definição, S1 é o conjunto de (x,y,z)inR^3 que satisfazem as três equações de S1. Em particular, qualquer (x,y,z)inS1 satisfaz as duas primeiras equações
x+y - z = 0, x+2y = 0,
que são exatamente as equações de S2. Logo
S1 subseteq S2

Passo 3

Sabemos que S1 é o espaço de soluções de um sistema homogêneo, então:
  • O vetor (0,0,0) satisfaz todas as equações, logo (0,0,0)inS1.
  • Se u,vinS1, então cada equação de S1 é linear e homogênea, de modo que u+v também a satisfaz.
  • Se uinS1 e lambdainR, então lambdau também satisfaz todas as equações.
Dessa forma, S1 é um subespaço vetorial de R^3.

Passo 4

Como S1subseteqS2 e S1 é subespaço de R^3, ela é fechada sob soma e escalar quando vista como parte de S2. Portanto S1 é também subespaço vetorial de S2.

Resposta

O conjunto solução de S1 é um subespaço vetorial do conjunto solução de S2.

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