Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais. Determine o subespaço gerado por
S=u1=(1,2,3), u2=(0,1,2), u3=(0,0,1) de V=R^3

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de R^3 gerado por
S=u1=(1,2,3),;u2=(0,1,2),;u3=(0,0,1)
O conteúdo é o conceito de span (ou subespaço gerado), que é o conjunto de todas as combinações lineares de u1,u2,u3.

Passo 2

Por definição,
Span(S) =l,alpha1u1+alpha2u2+alpha3u3mid alpha1,alpha2,alpha3inRr
Para ver quão grande é esse subespaço, basta verificar se u1,u2,u3 são linearmente independentes em R^3.

Passo 3

Formamos a matriz cujas colunas são u1,u2,u3:
A = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 2 & 1
Como A é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal são não nulos apenas na diagonal principal), temos
det(A)=1cdot1cdot1=1neq0
Logo, u1,u2,u3 são linearmente independentes e formam base de R^3.

Passo 4

Como S é formado por três vetores independentes em R^3, temos
Span(S)=R^3

Resposta

R^3

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