Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções tais que f(0)=1+f(1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto , O = f:RtoRmid f(0)=1+f(1), munido da adição e multiplicação escalar usuais, é um espaço vetorial real.

Passo 2

Em todo espaço vetorial precisamos, entre outros axiomas, de: fechamento sob adição, existência de elemento neutro aditivo, existência de inverso aditivo e fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 3

Testamos a existência do elemento neutro aditivo: a função zero f0(x)=0 deveria pertencer a O. Mas f0(0)=0 e 1 + f0(1)=1, logo 0neq1. Portanto não há elemento neutro aditivo em O.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob adição: seja f,gin O. Então
(f+g)(0)=f(0)+g(0)=(1+f(1))+(1+g(1))=2+f(1)+g(1)
e
e
(f+g)(1)=f(1)+g(1). Logo
(f+g)(0)=2+(f+g)(1)neq1+(f+g)(1) o que mostra que f+gnotin O. Falha o fechamento em adição.

Passo 5

Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar: para fin O e escalar alpha=0, temos
(0cdot f)(0)=0neq1=1+(0cdot f)(1), logo 0cdot fnotin O. Falha o fechamento em multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto O não é espaço vetorial. Não se satisfazem: fechamento sob adição, existência de elemento neutro aditivo, existência de inverso aditivo e fechamento sob multiplicação escalar.

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