Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
conjunto das funções tais que
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto ,
, munido da adição e multiplicação escalar usuais, é um espaço vetorial real.
Passo 2
Em todo espaço vetorial precisamos, entre outros axiomas, de: fechamento sob adição, existência de elemento neutro aditivo, existência de inverso aditivo e fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 3
Testamos a existência do elemento neutro aditivo: a função zero
deveria pertencer a
. Mas
e
, logo
. Portanto não há elemento neutro aditivo em
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob adição: seja
. Então
e
e
Passo 5
Verificamos o fechamento sob multiplicação escalar: para
e escalar
, temos
Resposta
O conjunto
não é espaço vetorial. Não se satisfazem: fechamento sob adição, existência de elemento neutro aditivo, existência de inverso aditivo e fechamento sob multiplicação escalar.