Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções reais crescentes.
O conjunto das funções reais crescentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com a soma e multiplicação escalar usuais é um espaço vetorial real. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: fechamento em soma e escalar, existência de zero, inversos aditivos, etc.
Passo 2
Para o fechamento em soma, suponha
e
crescentes. Se
, então
e
. Somando,
. Logo
é crescente, ou seja, há fechamento em soma.
Passo 3
Agora, verifiquemos a existência de elemento neutro aditivo. O candidato seria
para todo
. Mas
mesmo quando
, então
não é estritamente crescente. Logo o neutro não pertence a
.
Sobre inversos aditivos, para não constante, seu inverso
satisfaz
sempre que
, ou seja,
é decrescente. Portanto
e não há inversos aditivos.
Sobre inversos aditivos, para
Passo 4
Para multiplicação escalar, note que se
e
é crescente então
é crescente. Mas se
,
que não é crescente, e se
,
é decrescente. Logo não há fechamento em multiplicação escalar.
Passo 5
Concluímos que faltam os axiomas de existência do elemento neutro, existência de inversos aditivos e fechamento sob multiplicação escalar, logo
não é espaço vetorial.
Resposta
O conjunto não é espaço vetorial: falham a existência do neutro aditivo (função zero), a existência de inversos aditivos e o fechamento na multiplicação escalar (para
).