Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das funções reais crescentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto V=f: Rto Rmid f é crescenteé com a soma e multiplicação escalar usuais é um espaço vetorial real. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: fechamento em soma e escalar, existência de zero, inversos aditivos, etc.

Passo 2

Para o fechamento em soma, suponha f e g crescentes. Se x, então f(x) e g(x). Somando, f(x)+g(x). Logo f+g é crescente, ou seja, há fechamento em soma.

Passo 3

Agora, verifiquemos a existência de elemento neutro aditivo. O candidato seria 0(x)=0 para todo x. Mas 0(x)=0(y) mesmo quando x, então 0 não é estritamente crescente. Logo o neutro não pertence a V.
Sobre inversos aditivos, para fin V não constante, seu inverso -f satisfaz -f(x)>-f(y) sempre que f(x), ou seja, -f é decrescente. Portanto -f)notin V e não há inversos aditivos.

Passo 4

Para multiplicação escalar, note que se c>0 e f é crescente então cf é crescente. Mas se c=0, cf=0 que não é crescente, e se c<0, cf é decrescente. Logo não há fechamento em multiplicação escalar.

Passo 5

Concluímos que faltam os axiomas de existência do elemento neutro, existência de inversos aditivos e fechamento sob multiplicação escalar, logo V não é espaço vetorial.

Resposta

O conjunto não é espaço vetorial: falham a existência do neutro aditivo (função zero), a existência de inversos aditivos e o fechamento na multiplicação escalar (para c<=0).

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