Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são subespaços do R^3 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto W = { (x,y,z) ∈ ℝ³ : x+y+z=0 } é um subespaço de ℝ³. O conteúdo da matéria é subespaço vetorial, e vamos usar os três critérios clássicos: conter o vetor zero, fechar sob soma e fechar sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, verificamos se o vetor zero pertence a W. Substituindo (x,y,z) = (0,0,0) na condição x+y+z=0, temos 0+0+0=0. Logo, (0,0,0) ∈ W.

Passo 3

Agora, fechadura sob adição: sejam u=(x₁,y₁,z₁) e v=(x₂,y₂,z₂) em W. Então x₁+y₁+z₁=0 e x₂+y₂+z₂=0. Somando as duas equações, (x₁+x₂)+(y₁+y₂)+(z₁+z₂)=0+0=0. Assim, u+v ∈ W.

Passo 4

Por fim, fechadura sob escalar: seja u=(x,y,z) ∈ W e α ∈ ℝ. Como x+y+z=0, ao multiplicar por α obtemos αx+αy+αz = α·0 = 0. Portanto, αu ∈ W.

Resposta

O conjunto W é um subespaço vetorial de ℝ³.

Exercícios relacionados