Um operador linear
é dito semissimples se todo subespaço
-invariante de
tem um complemento que é também
-invariante. Seja
um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo
e
um operador linear em
.
a Mostre que se o polinômio minimal de
for irredutível em
então
é semissimples.
b Se
for algebricamente fechado, prove que
é diagonalizável se, e somente se, é semissimples.
c Mostre que o operador
tal que
não é semissimples.
a Mostre que se o polinômio minimal de
b Se
c Mostre que o operador
Passo 1
O enunciado define um operador linear semissimples como aquele em que todo subespaço T-invariante tem complemento também T-invariante. Precisamos mostrar: (a) se o polinômio minimal de T for irredutível em K então T é semissimples; (b) em corpo alg. fechado T é diagonalizável ⇔ semissimples; © o operador dado em R³ com matriz em B igual a [[2,0,0],[1,2,0],[0,0,3]] não é semissimples.
Passo 2
Para (a), observe que se o polinômio minimal m_T(x) é irredutível em K então o quociente de anéis
é um corpo. Assim V torna-se um espaço vetorial sobre esse corpo e, portanto, todo subespaço T-invariante (que equivale a submódulo sobre K[x]) admite complemento como espaço vetorial sobre K[x]/(m_T). Esse complemento é também T-invariante, logo T é semissimples.
Passo 3
Para (b), primeiro mostre que se T é diagonalizável então é semissimples. De fato, se T tem base de autovetores, V se decompõe em soma direta de autovetores (subespaços de dimensão 1), cada um T-invariante, e qualquer subespaço T-invariante se compõe de alguns desses fatores, possuindo naturalmente complemento formado pelos restantes, também T-invariante.
Passo 4
Ainda em (b), para a recíproca use que em corpo alg. fechado todos os fatores irredutíveis de m_T(x) têm grau 1. Se T é semissimples, por definição seus fatores primários são simples, então m_T(x) é produto de fatores lineares distintos. Isso garante que T é diagonalizável.
Passo 5
Para ©, note que a matriz dada tem bloco de Jordan de tamanho 2 para o autovalor 2, pois m_T(x)=(x-2)²(x-3). Como esse fator (x-2)² se repete, não há decomposição em soma direta de subespaços de dimensão 1 para o autovalor 2, logo não existe complemento T-invariante para o espaço próprio associado a 2. Assim T não é semissimples.
Resposta
(a) Se o polinômio minimal é irredutível então T é semissimples.
(b) Em corpo alg. fechado T é diagonalizável se, e somente se, é semissimples.
© O operador dado não é semissimples, pois m_T(x)=(x-2)²(x-3) tem fator repetido.
(b) Em corpo alg. fechado T é diagonalizável se, e somente se, é semissimples.
© O operador dado não é semissimples, pois m_T(x)=(x-2)²(x-3) tem fator repetido.