No espaço vetorial M3 times 2(R), consideremos os vetores
(ll 1 & 1 0 & 0 0 & 0 ), (ll 0 & 1 2 & 1 1 & 1 ) e (cc 1 & 2 1 & 0 0 & -1 )
a) Calcular 2 A+B-3 C;
b) Calcular X in M3 times 2(R) tal que A+X2-X-B3=C;
c) Existem alpha1, alpha2 in R de maneira que A=alpha1 B+alpha2 C ?

Passo 1

O exercício pede operações com matrizes em M3times2(R): soma, multiplicação por escalar, resolução de equação matricial e verificação de combinação linear. Vamos usar as definições de soma e escalar em cada entrada e montar um sistema linear para a combinação.

Passo 2

Para calcular 2A+B-3C fazemos operações elemento a elemento. Calculando primeiro os escalares e depois somando:
2A=2&20&00&0, B=0&12&11&1, -3C=-3&-6-3&00&3
Somando tudo:
2A+B-3C=-1&-3-1&11&4

Passo 3

Para resolver
A+X2-X-B3=C
lembramos que o mínimo múltiplo de 2 e 3 é 6. Multiplicamos ambos os lados por 6 para eliminar denominadores:
6l(A+X2-X-B3r)=6C
3(A+X)-2(X-B)=6C
3A+3X-2X+2B=6CLongrightarrow X=6C-3A-2B

Passo 4

Agora basta substituir A,B,C em X=6C-3A-2B:
6C=6&126&00&-6, -3A=-3&-30&00&0, -2B=0&-2-4&-2-2&-2
Somando tudo dá:
X=3&72&-2-2&-8

Passo 5

Para ver se existem alpha1,alpha2 tais que A=alpha1B+alpha2C, igualamos entrada a entrada. Da primeira linha vem
alpha2=1, alpha1+2alpha2=1impliesalpha1=-1
Mas da segunda linha precisaríamos
2alpha1+alpha2=0, alpha1=0,
o que contradiz alpha1=-1. Logo não há alpha1,alpha2 que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

a)
2A+B-3C=-1&-3-1&11&4
b)
X=3&72&-2-2&-8
c) Não existem alpha1,alpha2inR tais que A=alpha1B+alpha2C, pois o sistema fica inconsistente.

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