Mostre que os subconjuntos dados a seguir não subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes 2 times 2, M2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
W = { A ∈ M₂(ℝ) : det A = 0 }
do espaço vetorial M₂(ℝ) não é um subespaço. Para isso, a gente lembra que um subespaço deve conter a matriz zero, ser fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, verificamos a presença da matriz zero em W. A matriz zero é
0 = 0 & 00 & 0
e tem det 0 = 0. Como det 0 = 0, isso mostra que 0 ∈ W.

Passo 3

Em seguida, checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Se A ∈ W então det A = 0. Para qualquer escalar c ∈ ℝ vale
det(cA) = c^2 · det(A) = c^2 · 0 = 0
Logo cA ∈ W, ou seja, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Por fim, testamos o fechamento sob adição. Se W fosse subespaço, a soma de duas matrizes em W também deveria estar em W. Mas considere
A = 1 & 00 & 0, B = 0 & 00 & 1
Ambas têm determinante zero, então A ∈ W e B ∈ W. Mas
A + B = 1 & 00 & 1
e det(A + B) = 1 ≠ 0. Portanto A + B ∉ W, mostrando que W não é fechado sob adição.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de M₂(ℝ) porque falha na propriedade de fechamento sob adição.

Exercícios relacionados