Mostre que os subconjuntos dados a seguir são subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes
.
, onde
é uma matriz dada.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
V = {A ∈ Mₙ(ℝ) : A T = T A}, onde Mₙ(ℝ) é o espaço vetorial de todas as matrizes n×n reais e T é uma matriz fixa em Mₙ(ℝ). Para mostrar que V é subespaço, vamos usar a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se e somente se (i) W≠∅, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
V = {A ∈ Mₙ(ℝ) : A T = T A}, onde Mₙ(ℝ) é o espaço vetorial de todas as matrizes n×n reais e T é uma matriz fixa em Mₙ(ℝ). Para mostrar que V é subespaço, vamos usar a definição: um subconjunto W de um espaço vetorial é subespaço se e somente se (i) W≠∅, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Para garantir que V não esteja vazio, verificamos se a matriz zero pertence a V. Como a matriz zero 0 satisfaz 0·T = 0 = T·0, segue que 0 comuta com T. Logo, 0 ∈ V.
Passo 3
Agora suponha A e B em V. Então A T = T A e B T = T B. Veja o que acontece com A + B:
(A + B) T = A T + B T = T A + T B = T (A + B).
Isso mostra que A + B também comuta com T, ou seja, A + B ∈ V.
(A + B) T = A T + B T = T A + T B = T (A + B).
Isso mostra que A + B também comuta com T, ou seja, A + B ∈ V.
Passo 4
Por fim, peguemos um escalar c em ℝ e uma matriz A em V. Como A T = T A, temos:
(c A) T = c (A T) = c (T A) = T (c A).
Logo, c A ∈ V, mostrando fechamento sob multiplicação escalar.
(c A) T = c (A T) = c (T A) = T (c A).
Logo, c A ∈ V, mostrando fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
Pelos itens acima, V contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Portanto, V é um subespaço vetorial de Mₙ(ℝ).