Para os conjuntos seguintes, determine se os conjuntos dados são espaços vetoriais reais, se a adição e a multiplicação forem as usuais. Para aqueles que não forem diga quais axiomas de espaços vetoriais não são satisfeitos.
O conjunto das matrizes triangulares superiores, i.e, o conjunto das matrizes da forma:
Passo 1
A gente tem o conjunto U formado por todas as matrizes 3×3 triangulares superiores, ou seja, de forma
O conteúdo é Espaços Vetoriais sobre R, e para resolver vamos checar os axiomas (zero, fechamento, inverso, operações herdadas).
Passo 2
Primeiro a gente verifica se a matriz nula pertence a U. A matriz nula
0 = 0 & 0 & 00 & 0 & 00 & 0 & 0
é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), logo está em U.
Passo 3
Agora checamos o fechamento em adição. Se
A=a & b & c0 & d & e0 & 0 & f, B=a' & b' & c'0 & d' & e'0 & 0 & f'
então
A+B=a+a' & b+b' & c+c'0 & d+d' & e+e'0 & 0 & f+f'
que também é triangular superior, logo U é fechado sob soma.
Passo 4
Agora o fechamento em multiplicação escalar. Para qualquer Ain U como acima e qualquer escalar alphainR,
alpha A=alpha a & alpha b & alpha c0 & alpha d & alpha e0 & 0 & alpha f
continua triangular superior, então U é fechado sob múltiplicação por escalar.
Passo 5
Em seguida, verificamos o inverso aditivo. Dada A como antes, o seu inverso aditivo é
-A=-a & -b & -c0 & -d & -e0 & 0 & -f
ele pertence a U. Portanto, todo elemento de U tem inverso aditivo em U.
Passo 6
Por fim, os demais axiomas de espaço vetorial (associatividade e comutatividade da soma, elemento neutro, distributividade dos escales sobre soma vetorial e soma de escalares, existência de escalar identidade) valem em U porque já valem em todo M3times3(R) e U é subespaço. Assim, U satisfaz todos os axiomas.
Resposta
O conjunto das matrizes 3×3 triangulares superiores é um espaço vetorial real (subespaço de M3times3(R)).