Em
mantenhamos a definição de produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de três maneiras diferentes, a definição de soma
de vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
,
Passo 1
Resumo da questão: temos o conjunto ℝ² com multiplicação por escalar usual, mas definimos a soma de vetores como
O conteúdo aqui são os axiomas de espaço vetorial; vamos testar quais permanecem e quais se violam.
Passo 2
Testando os axiomas de soma:
- Fechamento: se (x,x’)∈ℝ×ℝ então x·x’∈ℝ, idem para y·y’, logo fechado.
- Comutatividade: x·x’=x’·x e y·y’=y’·y, então u+v=v+u.
- Associatividade: para u=(x,y), v=(x’,y’), w=(x’’,y’’) temos
Portanto, são válidos: fechamento, comutatividade e associatividade da soma.
Passo 3
Existência de elemento neutro e inverso aditivo:
- Neutro: buscamos e=(e₁,e₂) tal que x·e₁=x e y·e₂=y para todo (x,y). Isso dá e₁=e₂=1. Logo o “zero” é (1,1).
- Inverso: para u=(x,y) queremos v=(x’,y’) com x·x’=1 e y·y’=1, logo x’=1/x, y’=1/y. Mas se x=0 ou y=0 não existe inverso. Portanto, falha o axioma de existência de inverso aditivo para todo vetor.
Passo 4
Axiomas de multiplicação por escalar restantes:
- Fechamento: para α∈ℝ e (x,y)∈ℝ², (αx,αy)∈ℝ², ok.
- Associatividade escalar: α(βu) = (α(βx), α(βy)) = ((αβ)x, (αβ)y) = (αβ)u, ok.
- Elemento escalar unidade: 1·u = (1·x,1·y) = (x,y), ok.
Passo 5
Distributividades:
- α(u+v) vs αu+αv:
Como (αx x’)≠(α^2 x x’) em geral, falha.
- (α+β)u vs αu+βu:
incompatíveis, falha.
Passo 6
Resumo final: válidos: fechamento da soma; comutatividade; associatividade da soma; existência de neutro; fechamento escalar; associatividade escalar; escala unid. Violados: existência de inverso aditivo; distributividade
; distributividade
.
Resposta
Axiomas válidos: fechamento da soma, comutatividade da soma, associatividade da soma, existência de elemento neutro, fechamento sob multiplicação escalar, associatividade escalar e existência de 1·u=u. Axiomas violados: existência de inverso aditivo para todo vetor, distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores, e distributividade da soma de escalares sobre o vetor.