Em R^2 mantenhamos a definição de produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de três maneiras diferentes, a definição de soma u+v de vetores u=(x, y) e . Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
,

Passo 1

Resumo da questão: temos o conjunto ℝ² com multiplicação por escalar usual, mas definimos a soma de vetores como
(u+v)=(x,y)+(x',y')=(x,x',;y,y')
O conteúdo aqui são os axiomas de espaço vetorial; vamos testar quais permanecem e quais se violam.

Passo 2

Testando os axiomas de soma:
  • Fechamento: se (x,x’)∈ℝ×ℝ então x·x’∈ℝ, idem para y·y’, logo fechado.
  • Comutatividade: x·x’=x’·x e y·y’=y’·y, então u+v=v+u.
  • Associatividade: para u=(x,y), v=(x’,y’), w=(x’’,y’’) temos
(u+v)+w = ((x x')x'',; (y y')y'') = (x(x'x''),;y(y'y'')) = u+(v+w)
Portanto, são válidos: fechamento, comutatividade e associatividade da soma.

Passo 3

Existência de elemento neutro e inverso aditivo:
  • Neutro: buscamos e=(e₁,e₂) tal que x·e₁=x e y·e₂=y para todo (x,y). Isso dá e₁=e₂=1. Logo o “zero” é (1,1).
  • Inverso: para u=(x,y) queremos v=(x’,y’) com x·x’=1 e y·y’=1, logo x’=1/x, y’=1/y. Mas se x=0 ou y=0 não existe inverso. Portanto, falha o axioma de existência de inverso aditivo para todo vetor.

Passo 4

Axiomas de multiplicação por escalar restantes:
  • Fechamento: para α∈ℝ e (x,y)∈ℝ², (αx,αy)∈ℝ², ok.
  • Associatividade escalar: α(βu) = (α(βx), α(βy)) = ((αβ)x, (αβ)y) = (αβ)u, ok.
  • Elemento escalar unidade: 1·u = (1·x,1·y) = (x,y), ok.

Passo 5

Distributividades:
  • α(u+v) vs αu+αv:
α(u+v) = α(x x', y y') = (αx x', αy y'),
αu+αv = (αx,αy)+(αx',αy') = ((αx)(αx'), (αy)(αy')) = (α^2 x x', α^2 y y')
Como (αx x’)≠(α^2 x x’) em geral, falha.
  • (α+β)u vs αu+βu:
(α+β)u = ((α+β)x, (α+β)y),
αu+βu = (αx,αy)+(βx,βy) = (αx·βx,αy·βy) = (αβ x^2, αβ y^2),
incompatíveis, falha.

Passo 6

Resumo final: válidos: fechamento da soma; comutatividade; associatividade da soma; existência de neutro; fechamento escalar; associatividade escalar; escala unid. Violados: existência de inverso aditivo; distributividade α(u+v)=αu+αv; distributividade (α+β)u=αu+βu.

Resposta

Axiomas válidos: fechamento da soma, comutatividade da soma, associatividade da soma, existência de elemento neutro, fechamento sob multiplicação escalar, associatividade escalar e existência de 1·u=u. Axiomas violados: existência de inverso aditivo para todo vetor, distributividade da multiplicação escalar sobre a soma de vetores, e distributividade da soma de escalares sobre o vetor.

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