Seja E um espaço vetorial com um produto interno. Sejam F e G dois subespaços vetoriais de E.
a. Dar a definição de F^perp.
b. Provar que se F subset G então G^perp subset F^perp.

Passo 1

O enunciado pede para definir o complemento ortogonal de um subespaço e provar que, dado um espaço vetorial com produto interno, se F subset G então G^perp subset F^perp. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a propriedade de inclusões de subespaços.

Passo 2

O complemento ortogonal de F é definido como o conjunto de todos os vetores em E que são ortogonais a todos os vetores de F. Ou seja,
F^perp = ,v in E mid forall u in F, lang<= v, u rang<= = 0 ,

Passo 3

Para provar que G^perp subset F^perp quando F subset G, considere um vetor arbitrário x in G^perp. Por definição de complemento ortogonal,
forall y in G, lang<= x, y rang<= = 0

Passo 4

Como F subset G, qualquer vetor z in F também pertence a G. Logo
lang<= x, z rang<= = 0 para todo z in F, o que mostra que x in F^perp. Como x foi arbitrário em G^perp, concluímos
G^perp subset F^perp

Resposta

a) F^perp = v in E mid forall u in F, lang<= v, u rang<= = 0 b) G^perp subset F^perp

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