Seja
um espaço vetorial com um produto interno. Sejam
e
dois subespaços vetoriais de
.
a. Dar a definição de
.
b. Provar que se
então
.
a. Dar a definição de
b. Provar que se
Passo 1
O enunciado pede para definir o complemento ortogonal de um subespaço e provar que, dado um espaço vetorial com produto interno, se
então
. Vamos usar a definição de complemento ortogonal e a propriedade de inclusões de subespaços.
Passo 2
O complemento ortogonal de
é definido como o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores de
. Ou seja,
Passo 3
Para provar que
quando
, considere um vetor arbitrário
. Por definição de complemento ortogonal,
Passo 4
Como
, qualquer vetor
também pertence a
. Logo
Resposta
a)
b)