Considere o espaço vetorial
. Mostre que
é um subespaço de
em cada um dos casos abaixo:
consiste de todas as funções limitadas; [Aqui
é limitada se existe
tal que
.]
Passo 1
A questão define o espaço vetorial V como o conjunto de todas as funções f: ℝ → ℝ e o subconjunto W como as funções limitadas. Queremos mostrar que W é subespaço de V usando o teste de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que W não é vazio encontrando a função zero. Definimos f₀(x)=0 para todo x∈ℝ. Como |f₀(x)|=0 para todo x, f₀ é limitada (basta M=0). Logo, f₀∈W.
Passo 3
Agora verificamos o fechamento sob soma. Sejam f e g duas funções de W, com constantes Mf e Mg tais que |f(x)|≤Mf e |g(x)|≤Mg para todo x. Então, para todo x, temos
Isso mostra que f+g é limitada (basta tomar M= Mf+Mg), logo f+g∈W.
Passo 4
Finalmente, checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja f∈W limitada por M, e seja α∈ℝ. Para todo x, temos
Portanto α·f é limitada (basta tomar M′=|α|M), logo α·f∈W.
Resposta
Como W contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de V.