Considere o espaço vetorial V=f: R R. Mostre que W é um subespaço de V em cada um dos casos abaixo:
W consiste de todas as funções limitadas; [Aqui f: R R é limitada se existe M in R tal que |f(x)| <= M forall x in R.]

Passo 1

A questão define o espaço vetorial V como o conjunto de todas as funções f: ℝ → ℝ e o subconjunto W como as funções limitadas. Queremos mostrar que W é subespaço de V usando o teste de subespaço: não vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio encontrando a função zero. Definimos f₀(x)=0 para todo x∈ℝ. Como |f₀(x)|=0 para todo x, f₀ é limitada (basta M=0). Logo, f₀∈W.

Passo 3

Agora verificamos o fechamento sob soma. Sejam f e g duas funções de W, com constantes Mf e Mg tais que |f(x)|≤Mf e |g(x)|≤Mg para todo x. Então, para todo x, temos
|f(x)+g(x)|<=|f(x)|+|g(x)|<= Mf+Mg
Isso mostra que f+g é limitada (basta tomar M= Mf+Mg), logo f+g∈W.

Passo 4

Finalmente, checamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja f∈W limitada por M, e seja α∈ℝ. Para todo x, temos
|α·f(x)|=|α|·|f(x)|<=|α|·M
Portanto α·f é limitada (basta tomar M′=|α|M), logo α·f∈W.

Resposta

Como W contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que W é de fato um subespaço vetorial de V.

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