Mostre que os subconjuntos dados a seguir não subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes 2 times 2, M2(R).

Passo 1

Temos o conjunto W=Ain M2( R):A^2=A. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: precisamos verificar se W contém o vetor zero, se é fechado sob adição e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Escolhemos uma matriz não nula e idempotente, por exemplo:
A=1 & 0 0 & 0
Calculamos
A^2=1 & 0 0 & 0^2=1 & 0 0 & 0=A
Logo Ain W.

Passo 3

Agora testamos fechamento sob multiplicação escalar. Tomemos o escalar 2 e calculemos
(2A)^2=4A^2=4A
Mas 4Aneq2A pois A não é a matriz nula. Logo 2Anotin W, ou seja, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Como falha a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar, concluímos que W não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de M2( R).

Resposta

O conjunto W não é subespaço de M2( R) porque não é fechado sob multiplicação escalar (por exemplo, para A=1&00&0in W, o produto 2Anotin W).

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