Mostre que os subconjuntos dados a seguir não subespaços vetoriais do espaço vetorial das matrizes
.
Passo 1
Temos o conjunto
. O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: precisamos verificar se
contém o vetor zero, se é fechado sob adição e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Escolhemos uma matriz não nula e idempotente, por exemplo:
Calculamos
Logo
.
Passo 3
Agora testamos fechamento sob multiplicação escalar. Tomemos o escalar 2 e calculemos
Mas
pois
não é a matriz nula. Logo
, ou seja,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Como falha a propriedade de fechamento sob multiplicação escalar, concluímos que
não satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto
não é subespaço de
porque não é fechado sob multiplicação escalar (por exemplo, para
, o produto
).