Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
O conjunto das funções contínuas em
tais que
O conjunto das funções contínuas em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço vetorial real, usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Para isso, vamos aplicar o teste de subespaço vetorial: mostrar que
é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos que
é não-vazio mostrando que a função zero
que pertence a
, satisfaz
logo
. Assim,
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
e
em
. Então
Como a integral é linear, temos
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. Então
Pela propriedade de homogeneidade da integral,
Logo
.
Passo 5
Como
contém a função zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que
é um subespaço de
. Portanto,
é um espaço vetorial real com as operações usuais.
Resposta
O conjunto é um espaço vetorial real (é subespaço de
).