Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
O conjunto das funções contínuas em [0,1] tais que integral0^1 f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
V = lfin C([0,1],R) mid integral0^1f(x),dx = 0r
é um espaço vetorial real, usando as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar. Para isso, vamos aplicar o teste de subespaço vetorial: mostrar que V é não-vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que V é não-vazio mostrando que a função zero
f0(x) = 0, xin[0,1],
que pertence a C([0,1],R), satisfaz
integral0^1f0(x),dx = integral0^10,dx = 0,
logo f0in V. Assim, Vneqvarnothing.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam f e g em V. Então
integral0^1f(x),dx = 0 e integral0^1g(x),dx = 0
Como a integral é linear, temos
integral0^1l(f(x)+g(x)r),dx = integral0^1f(x),dx + integral0^1g(x),dx = 0 + 0 = 0
Logo f+gin V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja fin V e cinR. Então
integral0^1f(x),dx = 0
Pela propriedade de homogeneidade da integral,
integral0^1l(c,f(x)r),dx = c integral0^1f(x),dx = ccdot 0 = 0
Logo c,fin V.

Passo 5

Como V contém a função zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalares, concluímos que V é um subespaço de C([0,1],R). Portanto, V é um espaço vetorial real com as operações usuais.

Resposta

O conjunto é um espaço vetorial real (é subespaço de C([0,1],R)).

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