Exercício 10. Resolva os sistemas a seguir usando o método de Gauss-Jordan.
2 x+4 y+6 z & =0 x+2 y+z & =1 x+y+3 z & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O que a gente precisa aqui é mexer em matrizes para chegar numa forma que facilite encontrar os valores de x , y e z . Então, vamos transformar o sistema dado em uma matriz aumentada e seguir os passos para simplificar até achar as respostas finais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações como uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as etapas de eliminação:
2 & 4 & 6 & | & 0 1 & 2 & 1 & | & 1 1 & 1 & 3 & | & 3

Passo 3

Agora, o objetivo é ter 1 no topo da primeira coluna para facilitar a eliminação abaixo dele. Vamos dividir a primeira linha por 2:
1 & 2 & 3 & | & 0 1 & 2 & 1 & | & 1 1 & 1 & 3 & | & 3

Passo 4

Vamos eliminar os números abaixo do 1 que está na primeira linha. Para isso, subtraímos a primeira linha das segunda e da terceira:
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 1 → (1-1, 2-2, 1-3, 1-0) = (0, 0, -2, 1)
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1 → (1-1, 1-2, 3-3, 3-0) = (0, -1, 0, 3)
A matriz fica assim:
1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & -2 & | & 1 0 & -1 & 0 & | & 3

Passo 5

Vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar a próxima etapa:
1 & 2 & 3 & | & 0 0 & -1 & 0 & | & 3 0 & 0 & -2 & | & 1

Passo 6

Agora, vamos transformar o -1 da segunda linha em 1, multiplicando toda a segunda linha por -1:
1 & 2 & 3 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & -3 0 & 0 & -2 & | & 1

Passo 7

Vamos eliminar o 2 que está na primeira linha, segunda coluna. Fazemos isso subtraindo 2 vezes a segunda linha da primeira:
1 & 0 & 3 & | & 6 0 & 1 & 0 & | & -3 0 & 0 & -2 & | & 1

Passo 8

Agora, vamos transformar o -2 da terceira linha em 1, multiplicando toda a terceira linha por -0,5:
1 & 0 & 3 & | & 6 0 & 1 & 0 & | & -3 0 & 0 & 1 & | & -0,5

Passo 9

Por último, eliminamos o 3 que está na primeira linha, terceira coluna. Subtraímos 3 vezes a terceira linha da primeira:
1 & 0 & 0 & | & 7,5 0 & 1 & 0 & | & -3 0 & 0 & 1 & | & -0,5

Resposta

Os valores das variáveis são:
x = 7,5, y = -3, z = -0,5

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