Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
O conjunto de todas as funções reais tais que f(0)=f(1).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos que verificar se o conjunto de todas as funções reais que satisfazem f(0) = f(1) forma um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um espaço vetorial, especificamente como funciona a adição de funções e a multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um espaço vetorial, ele precisa ter o “vetor zero”. No nosso caso, o vetor zero é a função que retorna 0 para todo valor de x, ou seja, f(x) = 0. Vamos verificar se essa função está no conjunto:
f(0) = 0 e f(1) = 0.
Como f(0) = f(1), a função zero está dentro do nosso conjunto. Isso é importante porque todo espaço vetorial precisa conter esse elemento.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado em relação à adição de funções. Ou seja, se pegarmos duas funções que estão no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto. Suponha que temos duas funções f e g tais que f(0) = f(1) e g(0) = g(1).
A soma dessas funções é definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x). Vamos verificar se essa nova função também satisfaz f(0) + g(0) = f(1) + g(1):
(f + g)(0) = f(0) + g(0) = f(1) + g(1) = (f + g)(1).
Como a igualdade se mantém, a soma de f e g também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado em relação à adição.

Passo 4

Por último, vamos conferir a multiplicação por escalar. Queremos ver se, ao multiplicar uma função do conjunto por um número real alpha, o resultado ainda pertence ao conjunto. Seja f uma função no conjunto, então:
(alpha f)(0) = alpha cdot f(0) e (alpha f)(1) = alpha cdot f(1).
Como f(0) = f(1), temos:
alpha cdot f(0) = alpha cdot f(1), ou seja, (alpha f)(0) = (alpha f)(1).
Portanto, a função alpha f também pertence ao conjunto. Assim, o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto de todas as funções reais tais que f(0) = f(1) é um espaço vetorial real com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

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