Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
O conjunto de todas as funções reais tais que
.
O conjunto de todas as funções reais tais que
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos que verificar se o conjunto de todas as funções reais que satisfazem
forma um espaço vetorial real. Para isso, vamos precisar entender as propriedades que definem um espaço vetorial, especificamente como funciona a adição de funções e a multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um espaço vetorial, ele precisa ter o “vetor zero”. No nosso caso, o vetor zero é a função que retorna 0 para todo valor de
, ou seja,
. Vamos verificar se essa função está no conjunto:
Como
, a função zero está dentro do nosso conjunto. Isso é importante porque todo espaço vetorial precisa conter esse elemento.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado em relação à adição de funções. Ou seja, se pegarmos duas funções que estão no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto. Suponha que temos duas funções
e
tais que
e
.
A soma dessas funções é definida por
. Vamos verificar se essa nova função também satisfaz
:
Como a igualdade se mantém, a soma de
e
também está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado em relação à adição.
Passo 4
Por último, vamos conferir a multiplicação por escalar. Queremos ver se, ao multiplicar uma função do conjunto por um número real
, o resultado ainda pertence ao conjunto. Seja
uma função no conjunto, então:
Como
, temos:
Portanto, a função
também pertence ao conjunto. Assim, o conjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as funções reais tais que
é um espaço vetorial real com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.