Exercício 13. Mostre que o sistema
rl x+y+z & =1 2 x-y+3 z & =-2 3 x+a z & =3-a
tem infinitas soluções se a=4, e solução única se a neq 4.

Passo 1

O enunciado pede para estudar as soluções do sistema
x+y+z=1, 2x-y+3z=-2, 3x+az=3-a,
como função do parâmetro a. O conteúdo é sistemas lineares; vamos usar o determinante para verificar existência e unicidade e, no caso degenerado ( D=0), aplicar eliminação de Gauss para verificar compatibilidade e encontrar a solução geral.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz dos coeficientes
D=det 1 & 1 & 1 2 & -1 & 3 3 & 0 & a
Usando expansão pela primeira linha,
D=1cdotdet-1&30&a -1cdotdet2&33&a +1cdotdet2&-13&0
Isso dá
D = 1cdot(-1cdot a - 3cdot0) -1cdot(2a-9) +1cdot(0-(-3)) = -a -2a +9 +3 =3(4-a)
Logo, se aneq4 então Dneq0 e o sistema tem solução única.

Passo 3

Para
Subtraindo vezes a primeira da terceira obtemos o mesmo
Portanto as três equações são compatíveis e o posto é .

Passo 4

Como o posto é 2 em 3 incógnitas, há um grau de liberdade. Tomemos
y=t
Da relação -3y+z=-4 segue
z=3t-4,
e da primeira equação x+y+z=1 vem
x+t+(3t-4)=1Longrightarrow x=5-4t
Logo a solução geral para a=4 é
(x,y,z)=(5-4t,;t,;3t-4), tinR,
mostrando que há infinitas soluções.

Resposta

O determinante é D=3(4-a), logo o sistema tem solução única se, e somente se, aneq4. Para a=4 o sistema é compatível de posto 2 em 3 incógnitas, gerando infinitas soluções
(x,y,z)=(5-4t,;t,;3t-4), tinR

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