Seja
o conjunto de todos os pares ordenados
de números reais. Determine se
é um espaço vetorial se a soma (+) e o produto escalar são definidos das formas abaixo. (Desconsidere a soma e multiplicação por escalar usuais.)
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Para que
seja espaço vetorial, precisamos verificar que
-
é um grupo abeliano (associativo, elemento neutro, inversos e comutativo). - As leis do produto escalar (distributividade, associatividade escalar e identidade escalar) são satisfeitas.
Passo 2
Verificamos que a soma é associativa e comutativa porque a soma usual em
tem essas propriedades e a constante “
” aparece de forma simétrica. Em seguida, buscamos o elemento neutro
tal que, para todo
,
Isto equivale a
Logo,
e
. Assim
é o elemento neutro de
.
Passo 3
Para cada
seu inverso aditivo
deve satisfazer
Da soma segue
logo
Portanto, todo vetor tem inverso, e
é grupo abeliano.
Passo 4
Verificamos agora a distributividade do produto escalar sobre soma de escalares, isto é, se
vale para todo
e
. O lado esquerdo é
O lado direito é
Comparando, vemos que no primeiro componente aparece um “
” a mais em
, logo
e a lei falha.