Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Determine se V é um espaço vetorial se a soma (+) e o produto escalar são definidos das formas abaixo. (Desconsidere a soma e multiplicação por escalar usuais.)
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1+1, x2+y2), a(x1, x2)=( a x1, a x2 )

Passo 1

O enunciado define em V=(x1,x2)mid x1,x2inR as operações
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1+y1+1,;x2+y2),
acdot(x1,x2)=(a,x1,;a,x2)
Para que V seja espaço vetorial, precisamos verificar que
  1. (V,+) é um grupo abeliano (associativo, elemento neutro, inversos e comutativo).
  2. As leis do produto escalar (distributividade, associatividade escalar e identidade escalar) são satisfeitas.

Passo 2

Verificamos que a soma é associativa e comutativa porque a soma usual em R tem essas propriedades e a constante “ +1” aparece de forma simétrica. Em seguida, buscamos o elemento neutro theta=(e1,e2) tal que, para todo (x1,x2),
(x1,x2)+theta ;=;(x1,x2)
Isto equivale a
x1+e1+1 = x1, x2+e2 = x2
Logo, e1=-1 e e2=0. Assim
theta = (-1,0)
é o elemento neutro de (V,+).

Passo 3

Para cada (x1,x2)in V seu inverso aditivo (u1,u2) deve satisfazer
(x1,x2)+(u1,u2) = theta = (-1,0)
Da soma segue
x1+u1+1 = -1, x2+u2 = 0,
logo
u1 = -2 - x1, u2 = -x2
Portanto, todo vetor tem inverso, e (V,+) é grupo abeliano.

Passo 4

Verificamos agora a distributividade do produto escalar sobre soma de escalares, isto é, se
(a+b),(x1,x2) ;=;a,(x1,x2) ;+;b,(x1,x2)
vale para todo a,binR e (x1,x2). O lado esquerdo é
(a+b)(x1,x2) = l((a+b)x1,;(a+b)x2r)
O lado direito é
a(x1,x2) + b(x1,x2) =;(a,x1,a,x2) + (b,x1,b,x2) =l(a,x1+b,x1+1,;a,x2+b,x2r)
Comparando, vemos que no primeiro componente aparece um “ +1” a mais em a(x)+b(x), logo
(a+b)(x1,x2) neq a(x1,x2) + b(x1,x2),
e a lei falha.

Resposta

V não é um espaço vetorial, pois não satisfaz a distributividade do produto escalar sobre soma de escalares.

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