Exercício 12. Encontre condições sobre e c para que o sistema associado à matriz aumentada a seguir seja consistente (isto é, tenha solução):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações representado por uma matriz aumentada e queremos descobrir quais valores de a , b e c fazem com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Isso está dentro do ramo da álgebra linear, mais especificamente, na resolução de sistemas lineares usando matrizes. Para resolver isso, vamos manipular a matriz para identificar as condições necessárias que garantam que o sistema seja consistente, ou seja, que não haja contradições nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada que representa o sistema de equações:
A = (cccc 1 & 2 & 0 & a 2 & 0 & 4 & b 3 & 2 & 4 & c )
Aqui, os três primeiros números de cada linha representam os coeficientes das variáveis nas equações, e o último número é o termo constante.
Passo 3
Agora, vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar a matriz e facilitar a identificação das condições para consistência. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal todos os elementos são zero.
Primeiro, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o coeficiente 2 na posição (2,1):
(cccc 1 & 2 & 0 & a 0 & -4 & 4 & b - 2a 0 & 0 & 0 & c - b - a )
Passo 6
Para que o sistema seja consistente, a última linha não deve resultar em uma equação impossível, como 0 = d onde d é diferente de zero. Portanto, precisamos que:
c - b - a = 0
Isso garante que a última equação seja 0 = 0 , que é sempre verdadeira, não impõe nenhuma restrição adicional e assim o sistema terá pelo menos uma solução.
Resposta
Para que o sistema seja consistente, os parâmetros devem satisfazer a condição: