Sejam
um espaço vetorial,
um elemento qualquer de
e
um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
;
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em qualquer espaço vetorial
, o produto escalar de
pelo vetor
é o vetor nulo de
. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos a:
- elemento neutro do corpo
: ; - distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares:
; - existência de inverso aditivo em
: para todo existe tal que ; - propriedade de associatividade em
.
Passo 2
Pela distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares, temos
Como
em
, segue
Passo 3
Defina
. A igualdade acima fica
Agora adicionamos o inverso aditivo de
em ambos os lados:
Pelo axioma de inverso aditivo,
. E, pela associatividade,
Logo,
Passo 4
Como
, concluímos