Sejam V um espaço vetorial, v in V um elemento qualquer de V e alpha in R um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
0 v=0;

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em qualquer espaço vetorial V, o produto escalar de 0inR pelo vetor vin V é o vetor nulo de V. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial relativos a:
  • elemento neutro do corpo R: 0+0=0;
  • distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares: ,(a+b)v=av+bv;
  • existência de inverso aditivo em V: para todo win V existe -w tal que w+(-w)=0;
  • propriedade de associatividade em V.

Passo 2

Pela distributividade do produto escalar em relação à soma de escalares, temos
(0+0),v=0cdotv+0cdotv
Como 0+0=0 em R, segue
0cdotv=0cdotv+0cdotv

Passo 3

Defina w=0cdotv. A igualdade acima fica
w=w+w
Agora adicionamos o inverso aditivo de w em ambos os lados:
w+(-w) ;=; (w+w)+(-w)
Pelo axioma de inverso aditivo, w+(-w)=0. E, pela associatividade,
(w+w)+(-w) =w+(w+(-w)) =w+0 =w
Logo,
0=w

Passo 4

Como w=0cdotv, concluímos
0cdotv=0

Resposta

0cdotv=0

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