Nos conjuntos a seguir, identifique aqueles que são base do espaço vetorial mencionado, e aqueles que não são. Justifique.
C=(2,1,0),(2,1,1),(4,3,2) base de R^3 ?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
C=(2,1,0),(2,1,1),(4,3,2)
é uma base de R^3.
Para isso, precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes (o que em R^3 equivale a terem determinante não nulo quando colocados como colunas de uma matriz 3times3).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores de C:
A = 2 & 2 & 4 1 & 1 & 3 0 & 1 & 2
Se det(A)neq0, então os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em R^3, também geram R^3, logo são base.

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 2cdot det!1&31&2 -2cdot det!1&30&2 +4cdot det!1&10&1
Agora cada menor:
det!1&31&2 =1cdot2-3cdot1=-1, det!1&30&2 =1cdot2-3cdot0=2, det!1&10&1 =1cdot1-1cdot0=1
Portanto
det(A)=2cdot(-1)-2cdot2+4cdot1=-2-4+4=-2neq0

Passo 4

Como det(A)neq0, os vetores são linearmente independentes e, por serem três vetores em R^3, formam uma base de R^3.

Resposta

O conjunto C é base de R^3, pois o determinante da matriz formada por esses vetores é -2neq0, o que garante independência linear e, portanto, geração de todo o espaço.

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